数据结构补强——图

图基础

图的定义

图G由顶点集V和边集E组成，记为G = (V,E)，其中V(G)表示图G中顶点的有限非空集；E(G)表示图G中顶点之间的关系（边）集合。若V = {v1,v2,…,vn}，则用|V|表示图G中顶点的个数，也称为图G的阶，E = {{u,v} | u∈V,v∈V}，用|E|表示图G中边的条数
注意：线性表可以是空表，树可以是空树，但图不可以是空，即V一定是非空集

无向图、有向图

若E是无向边（简称边）的有限集合时，则图G为无向图。边是顶点的无序对，记为(v,w)或(w,v)，因为(v,w)=(w,v)，其中v、w是顶点。可以说顶点w和顶点v互为邻接点，边(v,w)依附于顶点w和v，或者说边(v,w)和顶点v、w相关联

若E是有向边（也称弧）的有限集合时，则图G为有向图。弧是顶点的有序对，记为，其中v、w是顶点，v称为弧尾，w称为弧头。称为从顶点v到顶点w的弧，也称v邻接到w，或w邻接自v。 !=

简单图、多重图

顶点的度、入度、出度

顶点-顶点的关系描述

连通图、强连通图

连通图最少有n-1条边是因为n个节点两两相连
非连通图最多有的情况是当其他n-1个节点两两相连，而最后一个节点一个都不连

子图

生成子图是拥有原图所有点的子图

连通分量

用于描述无向图

强连通分量

用于描述有向图

生成树

n个顶点有n-1条边，再多就会形成回路

生成森林

边的权、带权图/网

几种特殊形态的图

图的存储结构

• 邻接矩阵：数组实现的顺序存储，空间复杂度高O(n²)，不适合存储稀疏图
• 邻接表：找有向图的入度不方便,删除顶点、删除边的时间复杂度高
• 十字链表：存储有向图
• 邻接多重表：存储无向图

邻接矩阵法

如何求顶点的度、入度、出度

带权图：

性能分析

邻接矩阵的性质

行*列

邻接表

十字链表法

只能用于有向图

性能分析

邻接多重表

只用于存储无向图

总结

图的操作

判断图中是否有某条边

无向图：

有向图：

列出图中与结点邻接的所有边

无向图：

有向图：

在图中插入顶点

在图中删除顶点

无向图：

有向图：

向图中添加一条边

求图中顶点x的第一个邻接点

无向图：

有向图：

假设图中顶点x的一个邻接点y，返回除y之外顶点x 的下一个邻接点的顶点号，若y是x的最后一个邻接点，则返回-1

无向图：

获取并设置图中边的权值

图的遍历

• 广度优先遍历
• 深度优先遍历

广度优先遍历

代码实现

遍历序列的可变性

算法改进

因为如果是非连通图，则无法遍历完所有结点

复杂度分析

广度优先生成树

广度优先生成森林

练习

深度优先遍历

算法改进

复杂度分析

空间复杂度：

时间复杂度：

深度优先生成树

深度优先生成森林

图的遍历和图的连通性

无向图：

有向图：

总结

图的最小生成树（MST）

概念

Prim算法（普里姆）

Kruskal算法（克鲁斯卡尔）

两种算法对比

Prim算法的实现思想

Kruskal算法的实现思想

图的最短路径问题

BFS求无权图的单源最短路径

BFS实际上的结果就是单源最短路径
缺点：只能用于不带权的图

代码实现

Dijkstra（迪杰斯特拉）算法

步骤

• 初始：
  
• 第一轮：
  
• 第二轮：
  
• 第三轮：
  
• 第四轮：
  

如何使用数组信息

时间复杂度

对比Prim算法的实现思想

用于负权值带权图

Floyd算法

步骤

练习

不能解决的问题

总结

有向无环图描述表达式

拓扑排序

AOV网

概念

代码实现

逆拓扑排序

关键路径

AOE网

概念

求所有事件的最早发生时间

求所有事件的最迟发生时间

求所有活动的最早发生时间

求所有活动的最迟发生时间

求所有活动的时间余量

求得关键活动、关键路径

关键活动、关键路径的特性