动态规划系列：3.子序列问题
注意：
是连续的还是不连续的
是二维dp还是一维dp求解
dp数组的含义
1.最长递增子序列
给你一个整数数组 nums ，找到其中最长严格递增子序列的长度。
子序列 是由数组派生而来的序列，删除（或不删除）数组中的元素而不改变其余元素的顺序。例如，[3,6,2,7] 是数组 [0,3,1,6,2,2,7] 的子序列。
示例 1：
输入：nums = [10,9,2,5,3,7,101,18]
输出：4
解释：最长递增子序列是 [2,3,7,101]，因此长度为 4 。分析：
最优解问题
最长递增子序列的末尾元素为x,以x元素结尾最长的子序列长度为f(x),则有:
f(x)=max{f(i)+1,if i>x, else f(i)},i从第0个到第i-1个元素
其长度为f(x),则有f(x)=f(x-1)+1,能分解为子问题
同一长度的不同子序列可能共用一段子序列，子问题间有重复
因此可尝试动态规划求解
代码:
class Solution {
public:
int lengthOfLIS(vector& nums) {
if (nums.size() == 0) return 0;
if (nums.size() == 1) return 1;
vector record(nums.size(),1);//记录以第i个元素结尾的最长子序列的长度,初始值都为1
//从第二个元素开始对每个元素遍历
int result = 0;
for (int i = 1; i < nums.size(); i++) {
for (int j = 0; j < i; j++) {
if (nums[j] < nums[i]) {
record[i] = max(record[i], record[j] + 1);
}
}
if (record[i] > result) result = record[i];
}
return result;
}
}; 2.最长连续递增序列
给定一个未经排序的整数数组，找到最长且 连续递增的子序列，并返回该序列的长度。
连续递增的子序列 可以由两个下标 l 和 r（l < r）确定，如果对于每个 l <= i < r，都有 nums[i] < nums[i + 1] ，那么子序列 [nums[l], nums[l + 1], ..., nums[r - 1], nums[r]] 就是连续递增子序列。
示例 1：
输入：nums = [1,3,5,4,7]
输出：3
解释：最长连续递增序列是 [1,3,5], 长度为3。
尽管 [1,3,5,7] 也是升序的子序列, 但它不是连续的，因为 5 和 7 在原数组里被 4 隔开。 示例 2：
输入：nums = [2,2,2,2,2]
输出：1
解释：最长连续递增序列是 [2], 长度为1。分析：
和上一题“连续递增子序列”相比，此题增加了“连续的”条件，基本代码差不多，还少一个循环
f(x)=max{f(i)+1,if i>x, else f(i)},i为x前一个元素
class Solution {
public:
int findLengthOfLCIS(vector& nums) {
if (nums.size() <= 1)return nums.size();
//记录
vector record(nums.size(), 1);
int result = 0;
for (int i = 1; i < nums.size(); i++) {
if (nums[i] > nums[i - 1]) {
record[i] = record[i - 1] + 1;
}
if (record[i] > result)result = record[i];
}
return result;
}
}; 3.最长公共子序列
给定两个字符串 text1 和 text2，返回这两个字符串的最长 公共子序列 的长度。如果不存在 公共子序列 ，返回 0 。
一个字符串的 子序列 是指这样一个新的字符串：它是由原字符串在不改变字符的相对顺序的情况下删除某些字符（也可以不删除任何字符）后组成的新字符串。
例如，"ace" 是 "abcde" 的子序列，但 "aec" 不是 "abcde" 的子序列。
两个字符串的 公共子序列 是这两个字符串所共同拥有的子序列。
分析：
设i、j分别表示字符串1和2的第i个、第j个元素在字符串里的位置，f(i,j)表示text[1...i]与text[i...j]的最长公共子序列
如果nums[i]==nums[j],则f(i,j)=f(i-1,j-1)+1
否则，f(i,j)=max{f(i,j-1),f(i-1,j)}
class Solution {
public:
int longestCommonSubsequence(string text1, string text2) {
if (text1.size() == 0 || text2.size() == 0)return 0;
//记录
vector> dp(text1.size(), vector(text2.size(), 0));
//边界处理
dp[0][0] = text1[0] == text2[0] ? 1 : 0;
for (int j = 1; j < text2.size(); j++) {
dp[0][j] = text1[0] == text2[j] ? 1 : dp[0][j - 1];
}
for (int i = 1; i < text1.size(); i++) {
dp[i][0] = text1[i] == text2[0] ? 1 : dp[i-1][0];
}
if (text1.size() == 1 || text2.size() == 1) return dp[text1.size()-1][text2.size()-1];
int result = 0;
for (int i = 1; i < text1.size(); i++) {
for (int j = 1; j < text2.size(); j++) {
if (text1[i] == text2[j]) {
dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1]+1;
}
else {
dp[i][j] = max(dp[i][j - 1], dp[i - 1][j]);
}
result = dp[i][j] > result ? dp[i][j] : result;
}
}
return result;
}
}; 边界处理挺费脑子
在上面的代码中，从0开始记录字符序号，这样就会导致计算递推时`dp[i][j] = max(dp[i][j - 1], dp[i - 1][j])`;数组越界
可以从1开始记录字符序号，`dp[0][j]和dp[i]0`记为0，可以这样想：两个字符串最前面还隐藏了一个东西，这个东西与其他任何字符都不相同
代码：
class Solution {
public:
int longestCommonSubsequence(string text1, string text2) {
if (text1.size() == 0 || text2.size() == 0)return 0;
vector> dp(text1.size() + 1, vector(text2.size() + 1, 0));
for (int i = 1; i <= text1.size(); i++) {
for (int j = 1; j <= text2.size(); j++) {
if (text1[i-1] == text2[j-1]) {//注意dp[i][j]对应text1[i-1]和text2[j-1]
dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
}
else
dp[i][j] = max(dp[i][j - 1], dp[i - 1][j]);
}
}
return dp[text1.size()][text2.size()];
}
}; 4.最长重复子数组
给两个整数数组 nums1 和 nums2 ，返回 两个数组中 公共的 、长度最长的子数组的长度 。
示例 1：
输入：nums1 = [1,2,3,2,1], nums2 = [3,2,1,4,7]
输出：3
解释：长度最长的公共子数组是 [3,2,1] 。示例 2：
输入：nums1 = [0,0,0,0,0], nums2 = [0,0,0,0,0]
输出：5分析：
与前面的“最长公共子序列”相似,与上一题的区别在于此题中子数组的元素在原数组中是连续的
在具体算法中dp数组的含义不一样，上一题dp[i][j]表示text1:1-i与text2：1-j的最长公共子序列长度
这一题dp[i][j]表示以text1[i]与text2[j]结尾的最长公共子数组的长度
二维dp
dp[i][j]表示结尾元素分别为nums1[i-1]和nums2[j-1]的最长公共子数组长度
如果nums1[i-1]!=nums2[j-1]: dp[i][j]=0
如果nums1[i-1]==nums2[j-1]:dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1
class Solution {
public:
int findLength(vector& nums1, vector& nums2) {
if(nums1.size()==0||nums2.size()==0) return 0;
vector> dp(nums1.size()+1,vector(nums2.size()+1,0));
int result=0;
for(int i=1;i<=nums1.size();i++){
for(int j=1;j<=nums2.size();j++){
if(nums1[i-1]==nums2[j-1]) dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1;
result=max(result,dp[i][j]);
}
}
return result;
}
}; 5.不相交的线
在两条独立的水平线上按给定的顺序写下 nums1 和 nums2 中的整数。
现在，可以绘制一些连接两个数字 nums1[i] 和 nums2[j] 的直线，这些直线需要同时满足满足：
nums1[i] == nums2[j]
且绘制的直线不与任何其他连线（非水平线）相交。
请注意，连线即使在端点也不能相交：每个数字只能属于一条连线。
以这种方法绘制线条，并返回可以绘制的最大连线数。
示例 1：
输入：nums1 = [1,4,2], nums2 = [1,2,4]
输出：2
解释：可以画出两条不交叉的线，如上图所示。
但无法画出第三条不相交的直线，因为从 nums1[1]=4 到 nums2[2]=4 的直线将与从 nums1[2]=2 到 nums2[1]=2 的直线相交。示例 2：
输入：nums1 = [2,5,1,2,5], nums2 = [10,5,2,1,5,2]
输出：3分析
此题实际就是求两个数组的最长公共子序列
dp[i][j]表示两个数组中1-i，1-j的部分元素的最长公共子序列
代码
class Solution {
public:
int maxUncrossedLines(vector& nums1, vector& nums2) {
if(nums1.size()==0||nums2.size()==0) return 0;
//记录
vector> dp(nums1.size()+1,vector(nums2.size()+1,0));
for(int i=1;i<=nums1.size();i++){
for(int j=1;j<=nums2.size();j++){
if(nums1[i-1]==nums2[j-1]) dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1;
else dp[i][j]=max(dp[i][j-1],dp[i-1][j]);
}
}
return dp[nums1.size()][nums2.size()];
}
}; 6.最大子序和
给你一个整数数组 nums ，请你找出一个具有最大和的连续子数组（子数组最少包含一个元素），返回其最大和。
子数组 是数组中的一个连续部分。
示例 1：
输入：nums = [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4]
输出：6
解释：连续子数组 [4,-1,2,1] 的和最大，为 6 。示例 2：
输入：nums = [1]
输出：1分析：
最优解问题
设dp[i]表示以nums[i]结尾的拥有最大和的子数组的最大和值
如果dp[i-1]>0,dp[i]=dp[i-1]+nums[i]
如果dp[i-1]<=0,dp[i]=nums[i]
class Solution {
public:
int maxSubArray(vector& nums) {
if(nums.size()==0)return 0;
if(nums.size()==1) return nums[0];
int *dp=new int[nums.size()];
dp[0]=nums[0];
int result=0;
for(int i=1;iresult?dp[i]:result;
}
return result;
}
};
7.判断子序列
给定字符串 s 和 t ，判断 s 是否为 t 的子序列。
字符串的一个子序列是原始字符串删除一些（也可以不删除）字符而不改变剩余字符相对位置形成的新字符串。（例如，"ace"是"abcde"的一个子序列，而"aec"不是）。
示例 1：
输入：s = "abc", t = "ahbgdc"
输出：true示例 2：
输入：s = "axc", t = "ahbgdc"
输出：false分析：
感觉用不上动态规划，也看不出动态规划的几个特性。如示例一，依次在t中找a\b\c就好了
代码：
class Solution {
public:
bool isSubsequence(string s, string t) {
if (s.size() > t.size()) return false;
int pos = 0;//指向t
for (int i = 0; i < s.size(); i++) {
if (s[i] == t[pos]) {
pos++;
continue;
}
while (t[pos] != s[i]) {
pos++;
if (pos >= t.size()) return false;
}
pos++;
}
return true;
}
};这道题还可以用双指针的思想来解：
代码
class Solution {
public:
bool isSubsequence(string s, string t) {
if (s.size() > t.size()) return false;
int i=0,j=0;
while(i动态规划：
联想到前面做过的“最长公共子序列”，该题要求两个字符串的最长公共子序列，可以看作本题的“复杂版”，即本题求s与t的最长公共子序列，如果结果值不等于s的长度，则输出false，否则输出true
dp[i][j]表示以下标i-1为结尾的字符串s，和以下标j-1为结尾的字符串t，相同子序列的长度为dp[i][j]
递归关系：
如果s[i]==t[j],dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1
如果s[i]!=t[j],dp[i][j]=max(dp[i][j-1],dp[i-1][j])
代码和“最长公共子序列”几乎差不多
class Solution {
public:
bool isSubsequence(string s, string t) {
if(s.size()>t.size()) retur false;
if(s.size()==0) return true;
vector> dp(s.size()+1,vector(t.size()+1,0));
for(int i=1;i<=s.size();i++){
for(int j=1;j<=t.size();j++){
if(s[i-1]==s[j-1]) dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1;
else dp[i][j]=max(dp[i][j-1],dp[i-1][j]);
}
}
if(dp[s.size()][t.size()]!=s.size()) return true;
return false;
}
}; 8.不同的子序列
给定一个字符串 s 和一个字符串 t ，计算在 s 的子序列中 t 出现的个数。
字符串的一个 子序列 是指，通过删除一些（也可以不删除）字符且不干扰剩余字符相对位置所组成的新字符串。（例如，"ACE" 是 "ABCDE" 的一个子序列，而 "AEC" 不是）
题目数据保证答案符合 32 位带符号整数范围。
示例 1：
输入：s = "rabbbit", t = "rabbit"
输出：3
解释：
如下图所示, 有 3 种可以从 s 中得到 "rabbit" 的方案。
rabbbit
rabbbit
rabbbit示例 2：
输入：s = "babgbag", t = "bag"
输出：5
解释：
如下图所示, 有 5 种可以从 s 中得到 "bag" 的方案。
babgbag
babgbag
babgbag
babgbag
babgbag分析：
i表示s的第i个元素，j表示t的第j个元素，dp[i][j]表示在s:1-i中出现t：1-j的次数
如果s[i-1]==t[j-1],则dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+dp[i-1][j];
如果s[i-1]！=t[j-1],则dp[i][j]=dp[i-1][j]
注意dp[0][]和dp[][0]的初始化
代码如下：
class Solution {
public:
int numDistinct(string s, string t) {
vector> dp(s.size() + 1, vector(t.size() + 1, 0));
for (int k = 0; k <= s.size(); k++) dp[k][0] = 1;
for (int i = 1; i <= s.size(); i++) {
for (int j = 1; j <= t.size(); j++) {
if (s[i - 1] == t[j - 1]) dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + dp[i - 1][j];
else dp[i][j] = dp[i - 1][j];
}
}
return dp[s.size()][t.size()];
}
}; 遇到问题
刚开始定义的二维vector元素是int型，表示数据范围小了，然后改成long int还是小了，改成long long int还是小，最后改成unsigned long long才行
9.两个字符串的删除操作
给定两个单词 word1 和 word2 ，返回使得 word1 和 word2相同所需的最小步数。
每步 可以删除任意一个字符串中的一个字符。
示例 1：
输入: word1 = "sea", word2 = "eat"
输出: 2
解释: 第一步将 "sea" 变为 "ea" ，第二步将 "eat "变为 "ea"示例 2:
输入：word1 = "leetcode", word2 = "etco"
输出：4分析
感觉这题也是最大公共子序列的扩展
class Solution {
public:
int minDistance(string word1, string word2) {
vector> dp(word1.size()+1,vector(word2.size()+1,0));
for(int i=1;i<=word1.size();i++){
for(int j=1;j<=word2.size();j++){
if(word1[i-1]==word2[j-1]) dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1;
else dp[i][j]=max(dp[i][j-1],dp[i-1][j]);
}
}
int co_length=dp[word1.size()][word2.size()];
return word1.size()-co_length+word2.size()-co_length;
}
};
10.编辑距离
给你两个单词 word1 和 word2， 请返回将 word1 转换成 word2 所使用的最少操作数 。
你可以对一个单词进行如下三种操作：
插入一个字符
删除一个字符
替换一个字符
示例 1：
输入：word1 = "horse", word2 = "ros"
输出：3
解释：
horse -> rorse (将 'h' 替换为 'r')
rorse -> rose (删除 'r')
rose -> ros (删除 'e')示例 2：
输入：word1 = "intention", word2 = "execution"
输出：5
解释：
intention -> inention (删除 't')
inention -> enention (将 'i' 替换为 'e')
enention -> exention (将 'n' 替换为 'x')
exention -> exection (将 'n' 替换为 'c')
exection -> execution (插入 'u')分析
设dp[i][j]表示将word1：0----i-1成功编辑到word2：0----j-1所需的步数
如果word1[i-1]==word2[j-1],则有dp[i][j]=dp[i-1][j-1]
如果word1[i-1]!=word2[j-1],则需要进行编辑：
如果word1：0----i-1比word2：0------j-1少一个元素，如 w1:a,w2:ab dp[1][2]=dp[1][1]+1
则需要给word1末尾添加一个元素，因此，dp[i][j]=dp[i][j-1]+1
如果word1：0----i-1比word2：0------j-1多一个元素，如 w1:abc,w2:ab dp[3][2]=dp[2][2]+1
则需要删除word1末尾的元素，因此,dp[i][j]=dp[i-1][j]+1
如果word1：0----i-1比word2：0------j-1元素一样多但最后一个元素不相同·，如 w1:abc,w2:abd dp[3][3]=dp[2][2]+1
则需要将word1末尾的元素进行替换，因此,dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1
总结：
当word1[i-1]==word2[j-1],则有dp[i][j]=dp[i-1][j-1]：
当word1[i-1]!=word2[j-1]时：
代码
class Solution {
public:
int minDistance(string word1, string word2) {
vector> dp(word1.size() + 1, vector(word2.size() + 1, 0));
for (int k = 0; k <= word1.size(); k++) dp[k][0] = k;
for (int k = 0; k <= word2.size(); k++) dp[0][k] = k;
for (int i = 1; i <= word1.size(); i++) {
for (int j = 1; j <= word2.size(); j++) {
if (word1[i - 1] == word2[j - 1]) dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
else {
if (i > j) dp[i][j] = dp[i - 1][j] + 1;
if (i == j)dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
if(i 上面的代码提交不通过，原因在于算法思路不对，当word1[i]!=word2[j]是我们取的是“或者”，实际应该是三个操作取最小值。
如horse编辑成ros，可以这样：
1. horse先编辑成ro，然后添加s，即dp(5,3)=dp(5,2)+1;
2. hors编辑成ro，然后e替换成s，即dp(5,3)=dp(4,2)+1;
3. hors编辑成ros，然后删除e，即dp(5,3)=dp(4,3)+1;正确代码
class Solution {
public:
int minDistance(string word1, string word2) {
vector> dp(word1.size() + 1, vector(word2.size() + 1, 0));
for (int k = 0; k <= word1.size(); k++) dp[k][0] = k;
for (int k = 0; k <= word2.size(); k++) dp[0][k] = k;
for (int i = 1; i <= word1.size(); i++) {
for (int j = 1; j <= word2.size(); j++) {
if (word1[i - 1] == word2[j - 1])
dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
else dp[i][j] = min({ dp[i][j - 1], dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - 1] })+1;
}
}
return dp[word1.size()][word2.size()];
}
};
11.回文子串
给你一个字符串 s ，请你统计并返回这个字符串中 回文子串 的数目。
回文字符串 是正着读和倒过来读一样的字符串。
子字符串 是字符串中的由连续字符组成的一个序列。
具有不同开始位置或结束位置的子串，即使是由相同的字符组成，也会被视作不同的子串。
示例 1：
输入：s = "abc"
输出：3
解释：三个回文子串: "a", "b", "c"示例 2：
输入：s = "aaa"
输出：6
解释：6个回文子串: "a", "a", "a", "aa", "aa", "aaa"分析
dp(i,j)表示第i个元素到第j个元素间的子串是否是回文串
遍历顺序
dp(i,j)的值依赖于dp(i+1,j-1),因此i要从大往小遍历，j从小往大遍历
class Solution {
public:
int countSubstrings(string s) {
vector> dp(s.size(), vector(s.size(), 0));
int result = 0;
for (int i = s.size() - 1; i >= 0; i--) {
for (int j = i; j< s.size(); j++) {
if (i == j) {
dp[i][j] = 1;
}
if (j == i + 1 && s[i] == s[j]) {
dp[i][j] = 1;
}
if(j>i+1&& dp[i + 1][j - 1] == 1 && s[i] == s[j]){
dp[i][j] = 1;
}
if (dp[i][j] == 1)result++;
}
}
return result;
}
}; 优化：
class Solution {
public:
int countSubstrings(string s) {
vector> dp(s.size(), vector(s.size(), 0));
int result = 0;
for (int i = s.size() - 1; i >= 0; i--) {
for (int j = i; j< s.size(); j++) {
if(i==j|| (j == i + 1 && s[i] == s[j])|| (j > i + 1 && dp[i + 1][j - 1] == 1 && s[i] == s[j]))
dp[i][j] = 1;
if (dp[i][j] == 1)result++;
}
}
return result;
}
};
12.最长回文子序列
给你一个字符串 s ，找出其中最长的回文子序列，并返回该序列的长度。
子序列定义为：不改变剩余字符顺序的情况下，删除某些字符或者不删除任何字符形成的一个序列。
示例 1：
输入：s = "bbbab"
输出：4
解释：一个可能的最长回文子序列为 "bbbb" 。示例 2：
输入：s = "cbbd"
输出：2
解释：一个可能的最长回文子序列为 "bb" 。分析
在上一题“回文子串中，我们要求一个字符串中回文子串的数目，回文子串是连续的一串字符。在这题中，与上一题的区别在于：回文子序列不一定是连续的，要求最长的
递推关系：
dp(i,j)表示s:i-j最长回文子序列的长度，有：
如果s[i]=s[j], dp(i,j)=dp(i+1,j-1)+2
如果s[i]!=s[j]，dp(i,j)=max{dp(i+1,j),dp(i,j-1)}
遍历顺序：
dp(i,j)的求解依赖于：dp(i+1,j-1),dp(i+1,j),dp(i,j-1)
因此i由大往小遍历，j由小往大遍历
代码
class Solution {
public:
int longestPalindromeSubseq(string s) {
vector> dp(s.size(), vector(s.size(), 0));
for (int i = s.size() - 1; i >= 0; i--) {
for (int j = i; j < s.size(); j++) {
if (i == j) dp[i][j] = 1;
else if (j == i + 1) {
if (s[i] == s[j])
dp[i][j] = 2;
else dp[i][j] = 1;
}
else {
if (s[i] == s[j])dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2;
else dp[i][j] = max(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1]);
}
}
}
return dp[0][s.size() - 1];
}
};