CINTA第七次作业
第十一章课后习题QR
第四题
证明： 证明： 证明：
设 p 是奇素数， a , b ∈ Z 且不被 p 整除。则有： 设p是奇素数，a,b\in Z且不被p整除。则有： 设p是奇素数，a,b∈Z且不被p整除。则有：
1. 如果 a ≡ b ( m o d p ) , 则 ( a p ) = ( b p ) 1.如果a\equiv b(mod\ p),则(\frac{a}{p})=(\frac{b}{p}) 1.如果a≡b(mod p),则(pa)=(pb)
2. ( a p ) ( b p ) = ( a b p ) 2.(\frac{a}{p})(\frac{b}{p})=(\frac{ab}{p}) 2.(pa)(pb)=(pab)
3. ( a 2 p ) = 1 3.(\frac{a^{2}}{p})=1 3.(pa2)=1
证明如下： 证明如下： 证明如下：
对于 1 ， 对于1， 对于1，
若 a 是模 p 的 Q R ，那么 b 也是模 p 的 Q R ，有 ( a p ) = ( b p ) = 1 若a是模p的QR，那么b也是模p的QR，有(\frac{a}{p})=(\frac{b}{p})=1 若a是模p的QR，那么b也是模p的QR，有(pa)=(pb)=1
若 a 是模 p 的 Q N R ，那么 b 也是模 p 的 Q N R ，有 ( a p ) = ( b p ) = − 1 若a是模p的QNR，那么b也是模p的QNR，有(\frac{a}{p})=(\frac{b}{p})=-1 若a是模p的QNR，那么b也是模p的QNR，有(pa)=(pb)=−1
即 ( a p ) = ( b p ) 即(\frac{a}{p})=(\frac{b}{p}) 即(pa)=(pb)
对于 2 ， 对于2， 对于2，
根据命题 11.3 ，有 Q R × Q R = Q R , ( 1 × 1 = 1 ) = 1 根据命题11.3，有QR\times QR=QR,(1\times 1=1)=1 根据命题11.3，有QR×QR=QR,(1×1=1)=1
Q R × Q N R = Q N R , ( 1 × − 1 = − 1 ) = − 1 QR\times QNR=QNR,(1\times -1=-1)=-1 QR×QNR=QNR,(1×−1=−1)=−1
Q N R × Q N R = Q R , ( − 1 × − 1 = 1 ) = 1 QNR\times QNR=QR,(-1\times -1=1)=1 QNR×QNR=QR,(−1×−1=1)=1
即 ( a p ) ( b p ) = ( a b p ) 即(\frac{a}{p})(\frac{b}{p})=(\frac{ab}{p}) 即(pa)(pb)=(pab)
对于 3 ， 对于3， 对于3，
即对应 2 中， a 是模 p 的 Q R ，或 a 是模 p 的 Q N R ，有 Q R × Q R = Q R , 或 Q N R × Q N R = Q R 即对应2中，a是模p的QR，或a是模p的QNR，有QR\times QR=QR,或QNR\times QNR=QR 即对应2中，a是模p的QR，或a是模p的QNR，有QR×QR=QR,或QNR×QNR=QR
即证得， ( a 2 p ) = 1 即证得，(\frac{a^{2}}{p})=1 即证得，(pa2)=1
第五题
给出推论 11.1 的完整证明 给出推论11.1的完整证明 给出推论11.1的完整证明
设 p 是一个奇素数，则： 设p是一个奇素数，则： 设p是一个奇素数，则：
( − 1 p ) = { 1 如果 p ≡ 1 ( m o d 4 ) − 1 如果 p ≡ − 1 ( m o d 4 ) (\frac{-1}{p})= \left\{ \begin{array}{lc} 1 & 如果p\equiv1(mod\ 4) \\ -1&如果p\equiv-1(mod\ 4)\\ \end{array} \right. (p−1)={1−1如果p≡1(mod 4)如果p≡−1(mod 4)
证明如下： 证明如下： 证明如下：
若 p ≡ 1 ( m o d 4 ) ，则存在 k ∈ Z 使得， p = 4 k + 1 若p\equiv1(mod\ 4)，则存在k\in Z使得，p=4k+1 若p≡1(mod 4)，则存在k∈Z使得，p=4k+1
根据欧拉准则，有 ( − 1 p ) ≡ ( − 1 ) ( p − 1 ) / 2 ≡ ( − 1 ) ( 4 k + 1 − 1 ) / 2 ≡ 1 ( m o d p ) 根据欧拉准则，有(\frac{-1}{p})\equiv(-1)^{(p-1)/2}\equiv(-1)^{(4k+1-1)/2}\equiv1(mod\ p) 根据欧拉准则，有(p−1)≡(−1)(p−1)/2≡(−1)(4k+1−1)/2≡1(mod p)
若 p ≡ − 1 ( m o d 4 ) ，则存在 k ∈ Z 使得， p = 4 k − 1 若p\equiv-1(mod\ 4)，则存在k\in Z使得，p=4k-1 若p≡−1(mod 4)，则存在k∈Z使得，p=4k−1
根据欧拉准则，有 ( − 1 p ) ≡ ( − 1 ) ( p − 1 ) / 2 ≡ ( − 1 ) ( 4 k − 1 − 1 ) / 2 ≡ − 1 ( m o d p ) 根据欧拉准则，有(\frac{-1}{p})\equiv(-1)^{(p-1)/2}\equiv(-1)^{(4k-1-1)/2}\equiv-1(mod\ p) 根据欧拉准则，有(p−1)≡(−1)(p−1)/2≡(−1)(4k−1−1)/2≡−1(mod p)
证毕 证毕 证毕
第六题
设 p 是奇素数，请证明 Z p ∗ 的所有生成元都是模 p 的二次非剩余 设p是奇素数，请证明Z_{p}^{*}的所有生成元都是模p的二次非剩余 设p是奇素数，请证明Zp∗的所有生成元都是模p的二次非剩余
证明如下： 证明如下： 证明如下：
假设 g 是 Z p ∗ 的一个生成元，且 g 是模 p 的二次剩余 假设g是Z_{p}^{*}的一个生成元，且g是模p的二次剩余 假设g是Zp∗的一个生成元，且g是模p的二次剩余
根据欧拉准则，则存在 1 < k < p − 1 ，使得 g k ≡ 1 ( m o d p ) 根据欧拉准则，则存在1
而， g 的阶为 p − 1 ，存在矛盾 而，g的阶为p-1，存在矛盾 而，g的阶为p−1，存在矛盾
故， Z p ∗ 的所有生成元都是模 p 的二次非剩余 故，Z_{p}^{*}的所有生成元都是模p的二次非剩余 故，Zp∗的所有生成元都是模p的二次非剩余