阿基里斯和小乌龟

一天，一只乌龟翻山越岭来找阿基里斯说

我是跑得最快的乌龟，别人都说你是跑得最快的人，但你永远追不上我，不过你号称是跑得最快的人，你得先让我领先你1000米。

还没等阿基里斯回话，乌龟又说到

你只能无限的接近我，却永远追不上我。

听完乌龟的一番论述，比赛还没开始，阿基里斯就认输了。

不过第二天又来了一只小乌龟，这只小乌龟说到

就算我不跑你也永远追不上我，不过你号称是跑得最快的人，你要先让我领先你64米。

说完了这句，小乌龟又接着说到

你只能无限的接近我，却永远追不上我。

阿基里斯一想确实是这么一回事，比赛还没开始，阿基里斯又认输了。

无穷小

那么阿基里斯到底追不追得上乌龟呢？我们就第一只乌龟进行理解

这里的路程和时间都满足“等比数列”前n项和公式，整理得

所以小乌龟的说法并不正确

时间和空间虽然可以分割成无限多份，但这无限多份加起来并不是一个无限长的时间和空间。

阿基里斯输给小乌龟，是输在理论基础没打牢，那时他还不知道什么叫做无穷小。

时间来到了十八世纪初，这时出现了两位数学家莱布尼茨和牛顿。

他们各自独立发明了一个让理科生沉默、文科生流泪的微积分。

但是这并没有限制微积分的发挥

那时候就一个名叫贝克莱的人跳了出来，说微积分其实就不该出现。

但贝克莱并不是为了减轻我们学习的压力，而是为了保护大主教免遭科学的攻击。

贝克莱说微积分当中有个重要基础概念——导数，就是错的，你们只是依靠双重错误得到一个正确结果而已。

导数的概念：当函数y=f（x）的自变量x在一点x0上产生一个增量Δx时，函数输出值的增量Δy与自变量增量Δx的比值，在Δx趋于0时的极限a如果存在，a即为在x0处的导数，记作f'（x0）

贝克莱指出Δx（无穷小）到底是不是0

科学一路走来，微积分的实用性大家都有目共睹，但要筑成高楼大夏，基础就得牢固。

为此科学家们不断严格定义着“无穷小是不是0”这一说法，从而使微积分的基础变得坚实。

其中以柯西为首定义的“无穷小是以0为极限的变量”为我们普遍所接受。

微积分也因，经过此番磨难，修炼得更为系统化、完整化，成为一位十八世纪数学界的英雄。