为什么跑得最快的人永远追不上乌龟？第二次数学危机是什么

今天我们的故事从古希腊的一位英雄阿基里斯说起。

理解这里的英雄我们还要按照古希腊的风俗习惯

• 神和神的孩子称为神

• 人和人的孩子称为人

• 神和人的孩子称为英雄

 

阿基里斯作为一名英雄有着两个鲜明的特点

•  跑得快，古希腊没有人能跑过他

•  刀枪不入，但脚后跟有一个小弱点

 

也是因为这么一个小弱点，在特洛伊战争中，被太阳神阿波罗一箭射死。

但这并不是阿基里斯最悲惨的事情，而是另外一个特点引起的挑战。

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阿基里斯和小乌龟

一天，一只乌龟翻山越岭来找阿基里斯说

我是跑得最快的乌龟，别人都说你是跑得最快的人，但你永远追不上我，不过你号称是跑得最快的人，你得先让我领先你1000米。

还没等阿基里斯回话，乌龟又说到

• 你要追上我就得先跑完这1000米，在你跑完这1000米的时间，我又前进了100米，这时我俩又会存在100米的距离

  
  

• 而你还想追上我，就得先跑完这100米的距离，在你跑完这100米的时间，我又前进了10米，这时我俩又会存在10米的距离

  
  

• 要是现在你还想追上我，就得先跑完这10米的距离，在你跑完这10米的时间，我又前进了1米，这时我俩又会存在1米的距离

•  ...

 

你只能无限的接近我，却永远追不上我。

听完乌龟的一番论述，比赛还没开始，阿基里斯就认输了。

不过第二天又来了一只小乌龟，这只小乌龟说到

就算我不跑你也永远追不上我，不过你号称是跑得最快的人，你要先让我领先你64米。

 

说完了这句，小乌龟又接着说到

• 你要追上我，就得先跑完一半的路程也就是32米，这时我俩又会存在一个新的距离32米

  
  

• 而你还想追上我，就得再跑完一半的路程也就是16米，这时我俩又会存在一个新的距离16米

  
  

• 要是你还想追上我，就得再跑完一半的路程也就是8米，这时我俩又会存在一个新的距离8米

• ...

你只能无限的接近我，却永远追不上我。

阿基里斯一想确实是这么一回事，比赛还没开始，阿基里斯又认输了。

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无穷小

那么阿基里斯到底追不追得上乌龟呢？我们就第一只乌龟进行理解

• 阿基里斯所跑路程S=1000+100+10+1+0.1+0.01+0.001+...

  
  

• 阿基里斯所用时间T=t+1/10·t+1/100·t+1/1000·t+1/10000·t...（t为跑完1000米所用时间）

这里的路程和时间都满足“等比数列”前n项和公式，整理得

所以小乌龟的说法并不正确

时间和空间虽然可以分割成无限多份，但这无限多份加起来并不是一个无限长的时间和空间。

 

阿基里斯输给小乌龟，是输在理论基础没打牢，那时他还不知道什么叫做无穷小。

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微积分

时间来到了十八世纪初，这时出现了两位数学家莱布尼茨和牛顿。

他们各自独立发明了一个让理科生沉默、文科生流泪的微积分。

 

但是这并没有限制微积分的发挥

• 下至航海，可以计算不同地形的面积

• 上至天文，可以预测天体运动的位置

 

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贝克莱

那时候就一个名叫贝克莱的人跳了出来，说微积分其实就不该出现。

但贝克莱并不是为了减轻我们学习的压力，而是为了保护大主教免遭科学的攻击。

贝克莱说微积分当中有个重要基础概念——导数，就是错的，你们只是依靠双重错误得到一个正确结果而已。

导数的概念：当函数y=f（x）的自变量x在一点x0上产生一个增量Δx时，函数输出值的增量Δy与自变量增量Δx的比值，在Δx趋于0时的极限a如果存在，a即为在x0处的导数，记作f'（x0）

贝克莱指出Δx（无穷小）到底是不是0

•  Δx是0的话，那它怎么能做分母

•  Δx不是0的话，怎么能说成某点的导数，这已经不是一个点了

  
  

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柯西

科学一路走来，微积分的实用性大家都有目共睹，但要筑成高楼大夏，基础就得牢固。

为此科学家们不断严格定义着“无穷小是不是0”这一说法，从而使微积分的基础变得坚实。

其中以柯西为首定义的“无穷小是以0为极限的变量”为我们普遍所接受。

微积分也因，经过此番磨难，修炼得更为系统化、完整化，成为一位十八世纪数学界的英雄。