“高端”的位运算

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王有志,一个分享硬核Java技术的互金摸鱼侠
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原计划迭代作为预备知识的收尾,不过在解2的幂和4的幂时,想到关于数字2的问题可以通过位运算去解决,因此补充了关于位运算的内容。

“征服”面试官

当我还在校园的时候,听到过一个故事:某位学长去面试腾讯时,要求优化冒泡排序,学长“苦思冥想”后使用位运算交换变量,成功“征服”面试官拿下Offer。
故事我们可以当做段子来看,不过提到的位运算交换变量却值得我们去探究。先来看下“普通”程序员是如何交换变量的:

int a = 3, b = 5;
int temp = a;
a = b;
b = temp;

那么“高端”程序员是如何使用位运算交换变量的呢?

int a = 3, b = 5;
a = a ^ b;
b = a ^ b;
a = a ^ b;

同样是4行代码,使用位运算无需引入临时变量,因此在空间复杂度上更优,并且位运算更靠近计算机,因此在运算效率上更有优势。

位运算

计算机中,数以二进制的形式存储在内存中,而位运算就是对内存中的二进制数进行操作。维基百科中是这样定义的:

位操作是程序设计中对位数组或二进制数的一元和二元操作。在许多古老的微处理器上,位运算比加减运算略快,通常位运算比乘除法运算要快很多。在现代架构中,位运算的运算速度通常与加法运算相同(仍然快于乘法运算),但是通常功耗较小,因为资源使用减少。

既然位运算是操作二进制数的,那么我们有必要先了解计算机中二进制数是如何表示的。

码,反码和补码

计算机中有3种有符号数的表示方法:原码,反码和补码。
原码,反码和补码的共同点是:最高位为符号位,0代表正数,1代表负数。但它们在数值位上有着不同的表示方法。
我们通过十进制数字-11,来展示这3种表示方法的二进制数(使用8位)。

原码表示

使用原码表示时,除了符号位外,数值位和我们通过“除二倒取余法”计算后的数字相同,-11的原码为:1000 1011。
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反码表示

反码是原码和补码之间转换的过渡码,原码转换为反码的规则为:

  • 正数时,反码和原码相同
  • 负数时,符号位保持不变,数值位时原码按位取反

因此,-11的反码表示为:1111 0100。

补码表示

通过反码,我们可以计算出数字的补码,转换规则为:

  • 正数时,补码和反码相同;
  • 负数时,符号位保持不变,数值位时反码数值位加1。

因此,-11的补码表示为:1111 0101。
补码是计算机系统中普遍使用的表示方式,补码相较于原码和反码有两个特点:

  • 符号位可以参与运算
  • 加法和减法可以统一处理

到此为止,我们已经了解了计算机中3种二进制数的表示方式,下面简单的做个总结:当数字为正数时,原码,反码和补码相同
当数字为负数时,原码,反码和补码遵循以下转换规则:
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位运算符

Java中提供了7种位运算操作符:

符号 描述 运算规则 优先级 示例
~ 取反 操作一个数,0变为1,1变为0 1 ~ a
<< 带符号左移 操作两个数,数值位向左移动,高位丢弃,低位补0 2 a << 1
>> 带符号右移 操作两个数,数值位向右移动,低位丢弃,高位补符号位 2 a >> 1
>>> 无符号右移 操作两个数,数值位向右移动,低位丢弃,高位补0 2 a >>> 1
& 按位与 操作两个数,同为1时,结果为1,否则为0 3 a & b
^ 按位异或 操作两个数,相同为0,不同为1 4 a ^ b
| 按位或 操作两个数,同为0时,结果为0,否则为1 5

用一段程序来展示位运算符的基础操作:

int number = -11;

// 输出Java中的二进制表示(补码),11111111111111111111111111110101
System.out.println("原值,二进制:" + Integer.toBinaryString(number));

// 取反,0变为1,1变为0
System.out.println("取反,十进制" + ~number);
System.out.println("取反,二进制:" + Integer.toBinaryString(~number));

// 按位异或,相同为0,不同为1
System.out.println("按位异或" + (number ^ number));

// 按位与,同为1时,结果为1,否则为0
System.out.println("按位与:" + (number & 1));

// 按位或,同为0时,结果为0,否则为1
System.out.println("按位或:" + (number | ~number));

// 左移,数值位向左移动,高位丢弃,低位补0
System.out.println("左移,十进制:" + (number << 1));
System.out.println("左移,二进制:" + Integer.toBinaryString(number << 1));

// 右移,数值位向右移动,低位丢弃,高位补符号位
System.out.println("右移,十进制:" + (number >> 2));
System.out.println("右移,二进制:" + Integer.toBinaryString(number >> 2));

// 无符号右移,数值位向右移动,低位丢弃,高位补0
System.out.println("无符号右移,十进制:" + (number >>> 1));
System.out.println("无符号右移,二进制:" + Integer.toBinaryString(number >>> 1));

位运算技巧

到目前为止,我们已经了解了二进制数和位运算符,不过这些操作看起平平无奇,好像并没有什么用?那么接下来就介绍一些基础的位运算技巧。

2的幂

还记得2的幂吗?当时使用递归求解,效率上还是有些差强人意的,那么有没有更高效的方法呢?
有一个二进制数字:1101 0101。根据常规的二进制转换为十进制的方法,可以得到如下等式: 1 × 2 7 + 1 × 2 6 + 0 × 2 5 + 1 × 2 4 + 0 × 2 3 + 1 × 2 2 + 0 × 2 1 + 1 × 2 0 = 213 1\times2^7+1\times2^6+0\times2^5+1\times2^4+0\times2^3+1\times2^2+0\times2^1+1\times2^0=213 1×27+1×26+0×25+1×24+0×23+1×22+0×21+1×20=213
显而易见,如果是2的幂,二进制数字中有且仅有1个1。例如:1000 0000。那么判断是否为2的幂就变成了证明二进制数字仅有1个1,或者说是,证明二进制数字中1后面所有位都为0。
如果数字n是2的幂,那么n-1一定是比n少一位,且二进制位都为1的数字。可以利用0&1=0的特性判断是否符合我们的预期,代码如下:

if((n & (n - 1)) == 0) {
	return true;
} else {
	return false;
}

奇偶性

此外,在二进制转换为十进制的过程中,还可以得到另外一点信息,即如果二进制的最低位为1,则数字为奇数
那么在判断一个数字的奇偶性时,我们只需要得知二进制数字的最后一位是否为1即可,代码如下:

if ((number & 1) == 0) {
	System.out.println("偶数");
} else {
	System.out.println("奇数");
}

快速乘/除2

还是在二进制转换为十进制的过程中,我们可以看到,如果想要乘/除2,只需要向左/右移动一位即可,不过对于奇数来说是除2后向下取整
今天介绍的只是位运算中的基础技巧,算是为大家抛砖引玉。实际上位运算的技巧远不止这些,或者说是二进制数的使用技巧远不止这些。
离我们最近的有Java中ThreadPoolExecutor处理线程状态时使用的技巧,或者叫做位掩码。另外,相信有的小伙伴在面试中被问到过布隆过滤器,这也是一种二进制的进阶用法。
更多的技巧,也可以参考位运算的简单应用和位运算的进阶介绍。

结语

今天的内容到这里就结束了,我们来回顾下都聊了哪些内容:
首先是简单介绍了计算机中的原码,反码和补码,接着是Java中7种位运算操作符,不过并不是所有语言都提供了无符号右移(>>>),最后介绍了一些简单位运算的技巧,但位运算的用法远不止这些,包括听起来很高端的布隆过滤器,也使用了位运算,这也是为什么我说位运算“高端”。
最后补充一篇关于为什么要使用位运算的问答《What are the advantages of using bitwise operations?》,虽然已经过去了11年,但依旧可以作为参考。

练习

因为后面很少会再出现位运算的内容了,因此这次的题目会比较多。
简单难度:

  • 67.二进制求和
  • 136.只出现一次的数字
  • 190.颠倒二进制位
  • 191.位1的个数
  • 231.2的幂
  • 342.4的幂
  • 693.交替位二进制数
  • 剑指 Offer 65.不用加减乘除做加法

中等难度:

  • 36.有效的数独
  • 89.格雷编码
  • 137.只出现一次的数字 II
  • 201.数字范围按位与

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