2.21 本征向量和本征值

https://www.youtube.com/watch?v=5sHCGsEYtLE&list=PL65jGfVh1ilueHVVsuCxNXoxrLI3OZAPI&index=35&t=4s

前言

还记得学量子化学时每次本征值本征值的搞的我都头都大了，这节我们就来复习一下线性数学中最重要的本征向量和本征值是啥？然后看看它在量子力学中的重要应用。

1. 一个坐标变换中的特殊向量

• 假设一个正方形（左图）向一个平行四边形变换（右图）

  
  
  image.png
  • 黄色向量方向没变，长度变长
  • 蓝色向量方向变了，长度变长
  • 存在粉色向量，方向不变，长度也不变；（神奇）

那么以上的向量中粉色和黄色为本征向量（本征eigen来源德语，它的意思是自身的，或固有的，独特的）

2. 本征值和本征向量

思考量子力学中的常用表达式：

• 写成线性代数中的形式：
  
  
  

• 其中，

• 计算本征值
  

• 假设A矩阵是可逆的，那么
  ，搞了半天向量是0，全都是0，这就没啥意思了。所以A一定要是不可逆的，即

• 利用上述公式可以计算得到本征值的取值

  • 假如行列式是n×n矩阵n阶行列式
  • 得到n个本征值（不一定都不相同）

• 举例
  
  根据上面的推导得到行列式如下：
  
  
  

• 以上就是本征值的求法，那么如何求本征向量呢？
  把带入上面的等式中中：
  
  
  求解上述二元一次方程组：

  • 根据方程组2得到：带入方程组1，得到(所以通过求解方程组仅得到了x与y的关系)
  • 同理也可以得到

3. 对角化

• 回忆一下上节讲的那个坐标系变换：

  • 算符用basis1可以表示成矩阵A，也可以用本征基矢表示成
    
    image.png

• 那么根据上节推导：

• 看到这想必有人和我一样懵了：为啥矩阵对角化出来的就一定是本征值呢？

  • 于是我开始查资料发现一篇知乎上的文章解决了我的疑惑，结合本人的理解，整理如下：
    

    知乎托比欧

  • 关于为什么矩阵A可以乘到矩阵S里面去：
    矩阵的乘法可以理解成坐标变换，比如两个矩阵A 和S 相乘： AS 代表的是，先将坐标按照矩阵S进行一个坐标变换，然后再按矩阵A再进行一次坐标变化。（注意顺序是从右往左）
    

    image.png

  • 接下来上述方程可以接着化为：

image.png

• 即：
• 注意了，上式说明：矩阵可以对角化的前提是S有逆矩阵，S有逆矩阵的前提是, S的行列式非零的前提条件是特征向量(S中的每一竖列)非线性相关，即特征值都不相同。

4. 厄米变换

• 回忆一下：厄米变换的本质就是转置加共轭后矩阵不变

  • 矩阵沿中间线对称

  • 复数都分布在中间线两边对称位置（符号相反）

• 厄米变换的特性：

  • 这样理解：

    • 你看下图，两边a和A行列相乘，当A的转置（共轭）都相等的时候，其实本质是一样的。

      
      
      image.png

• 根据上面的特性可以得到厄米矩阵的一般性质：
  其中

  • 如果A为厄密矩阵，A的本征值为实数
    证明：首先

  其次
  
  就是说：由于厄米矩阵的转置共轭等于自己本身，所以根据这个性质推导出来： ，只有实数的共轭等于自身呀，所以肯定是实数。

  • A的不同本征向量（对应的本征值也不同）是相互正交的
    这就不打字了，看下图，就是说只有当：
    image.png