贪心算法之最优装载问题

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数据结构+算法=程序。 数据结构是程序的骨架，算法是程序的灵魂。

贪心算法

具有贪心选择和最优子结构性质就可以使用贪心算法。

算法知识点

（1）贪心策略，选择当前看上去最好的一个方案。例如，挑选苹果，如果认为个头最大的是最好的，那每次从苹果堆中拿一个最大的，作为最优解；如果认为最红的苹果最好，那么每次从苹果堆中拿一个最红的，作为最优解。因此，根据求解目标不同，贪心策略也会不同。
（2）局部最优解。根据贪心策略，一步步的得到局部最优解。例如，第一次从苹果堆中选一个最大的苹果放起来，记为$a_1$；第二次从剩下的苹果堆中选一个最大的苹果放起来，记为$a_2$；以此类推。
（3）全局最优解。把所有的局部最优解合并为原来问题的一个最优解（$a_1,a_2,...$）。

有点像冒泡排序？是冒泡排序使用了贪心算法，它的贪心策略是每次从剩下的序列中选一个最大的数，然后把这些数放在一起，就得到了从大到小的排序结果。

算法题目描述

海盗截获了一艘装满各种各样古董的货船，每件古董都价值连城，一旦打碎就失去了它的价值，海盗船载重量为$C$，每件古董的重量为$w_i$，海盗们如何尽可能多数量的宝贝装上海盗船？

做题思路

可以使用贪心算法解出最优装载问题，要求装载的物品数量尽可能多，而船的容量是固定的，那么优先把重量小的物品放进去，使装的物品最多。

采用重量最轻者先装的策略，从局部最优达到全局最优，从而产生最优装载问题的最优解。

（1） 当负载为恒定值c时，$w_i$越小时，可装载古董的数量就越大。只要选择最小重量的古董，直到无法重新装载。
（2） n个古董的重量从小到大（非递减）排序，然后根据贪婪的策略选择尽可能多的选择前i个古董，直到无法继续安装，此时达到最优。

算法实现

#include 
#include 
using namespace std;

const int N=1000001;

double w[N];//weigths

int main(int argc,char **argv)
{

    double c;
    int n;
    
    cout<<"Please input load and number of antiques:"<<endl;
    cin>>c>>n;
    cout<<"Please enter the weight of each antique, separated by a space:"<<endl;
    
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        cin>>w[i];
    }
    
    sort(w,w+n);
    
    double tmp=0.0;//weight of antique
    int ans=0;//number of antiques
    
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        tmp+=w[i];
        if(tmp<=c)
            ans++;
        else
            break;
    }
    
    cout<<"number of antiques:"<< ans <<endl;
    
    return 0;
}

输出：

Please input load and number of antiques:
30 8
Please enter the weight of each antique, separated by a space:
4 10 7 11 3 5 14 2
number of antiques:5

算法复杂度分析

（1）时间复杂度：调用sort函数，其平均复杂度为$O(n\log n)$，贪心策略的for语句时间复杂度为$O(n)$。因此，时间复杂度为$O(n+n\log n)$。
（2）空间复杂度：辅组空间是常数阶的，因此为$O(1)$。