二分图最大匹配算法：匈牙利、KM

基础定义

匹配

• 匹配：给定一个无向图$G=<V,E>$，一个匹配是一个边的子集合$M\subseteq E$，且满足对所有顶点$v\in V$，$M$中至多有一条边与$v$关联。对匹配$M$中的每条边$e=(u,v)$，其两端点$u$和$v$称为被匹配M所匹配，而$u$和$v$都称为是M饱和的。
• 最大匹配：图G中含边数最多的匹配称为G的最大匹配
• 完美匹配：如果G中每个点都是M饱和的，则称M是G的完美匹配

二分图

• 二分图(二部图)：G=(V,E)是一个无向图，如果顶点V可分割为两个互不相交的子集(A,B)，并且图中的每条边所关联的两个顶点i和j分别属于这两个不同的顶点集，则称图G为一个二分图。
  $$\begin{array}{l}满足下面的无向图G=<V,E>\\ 有非空集合X,Y:X\cup Y=V,X\cap Y=\varnothing \\ 且每条边\{v_i,v_j\}\in E都有:\\ v_i\in X\wedge v_j\in Y或者v_i\in Y\wedge v_j\in X\\ 称为二分图(bipartitegraph)\\ 可以用G=<X,E,Y>表示二分图\end{array}$$

• 图G是二分图$\iff $图G至少有两个顶点，而且G中所有回路的长度都是偶数

  证明：
  必要性
  $$\begin{array}{l}只有一个点不够二分，故至少有两个顶点。回路的边数和顶点数相同\\ 不失一般性，设一回路从X部出发，则下一顶点在Y部，\\ 回路上的顶点X、Y部交替，故X部点的数量与Y部点数量相同。\\ 顶点数是偶数，边的数量也是偶数\end{array}$$

  充分性
  $$\begin{array}{l}任意取顶点v,取V_1=\{v_i|v_i与v的距离为偶数\},\\ V_2=V-V_1,证明V_1,V_2内部顶点间没有边(反证法)\\ 如果有边\{v_i,v_j\}\in E{v}_i,v_j\in V_1\\ 那么v到v_i,v_j距离都是偶数,v\to v_i\to v_j\to v这个\\ 回路的长度是奇数,和条件矛盾,V_2\end{array}$$