代码随想录刷题题Day30

刷题的第三十天，希望自己能够不断坚持下去，迎来蜕变。
刷题语言：C++
Day30 任务
● 1049. 最后一块石头的重量 II
● 494. 目标和
● 474.一和零

1 最后一块石头的重量 II

1049. 最后一块石头的重量 II

思路：
本题就是尽量让石头分成重量相同的两堆，相撞之后剩下的石头最小，这样成01背包问题
动态规划
（1）确定dp数组以及下标的含义
dp[j]表示容量（这里说容量更形象，其实就是重量）为j的背包，最多可以背最大重量为dp[j]
（2）确定递推公式

01背包的递推公式为：dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
dp[j] = max(dp[j], dp[j - stones[i]] + stones[i]);

（3）dp数组如何初始化

vector<int> dp(15001, 0);

（4）确定遍历顺序
使用一维dp数组，物品遍历的for循环放在外层，遍历背包的for循环放在内层，且内层for循环倒序遍历！

for (int i = 0; i < stones.size(); i++) { // 遍历物品
    for (int j = target; j >= stones[i]; j--) { // 遍历背包
        dp[j] = max(dp[j], dp[j - stones[i]] + stones[i]);
    }
}

（5）举例推导dp数组

C++：

class Solution {
public:
    int lastStoneWeightII(vector<int>& stones) {
        int sum = 0;
        for (int i = 0; i < stones.size(); i++) {
            sum += stones[i];
        }
        int target = sum / 2;
        vector<int> dp(1501, 0);
        for (int i = 0; i < stones.size(); i++) {// 遍历物品
            for (int j = target; j >= stones[i]; j--) {// 遍历背包
                dp[j] = max(dp[j], dp[j - stones[i]] + stones[i]);
            }
        }
        return sum - dp[target] * 2;
    }
};

时间复杂度：$O(m\times n)$ , m是石头总重量（准确的说是总重量的一半），n为石头块数
空间复杂度：$O(m)$

2 目标和

494. 目标和

思路：

如何使表达式结果为target?
left - right = target
left + right = sum
right = sum - left
推导出 left = (target + sum)/2

target是固定的，sum是固定的，left就可以求出来
问题就是在集合nums中找出和为left的组合
动态规划法
转换成01背包问题

假设加法的总和为x，那么减法对应的总和就是sum - x，x = (target + sum) / 2

问题就转化为，装满容量为x的背包，有几种方法

if ((S + sum) % 2 == 1) return 0; // 此时没有方案

if (abs(S) > sum) return 0; // 此时没有方案

这次和之前遇到的背包问题不一样了，之前都是求容量为j的背包，最多能装多少。

本题则是装满有几种方法。
（1）确定dp数组以及下标的含义

dp[j] 表示：填满j（包括j）这么大容积的包，有dp[j]种方法

（2）确定递推公式
只要搞到nums[i]，凑成dp[j]就有dp[j - nums[i]] 种方法

dp[j] += dp[j - nums[i]]

（3）dp数组如何初始化
dp[0] = 1,其他初始化为0
（4）遍历顺序
01背包问题一维dp的遍历，nums放在外循环，target在内循环，且内循环倒序
（5）举例推导dp数组
输入：nums: [1, 1, 1, 1, 1], S: 3

bagSize = (S + sum) / 2 = (3 + 5) / 2 = 4

C++：

class Solution {
public:
    int findTargetSumWays(vector<int>& nums, int target) {
        int sum = 0;
        for (int i = 0; i < nums.size(); i++) sum += nums[i];
        if (abs(target) > sum) return 0;
        if ((target + sum) % 2 == 1) return 0;
        int bagSize = (target + sum) / 2;
        vector<int> dp(bagSize + 1, 0);
        dp[0] = 1;
        for (int i = 0; i < nums.size(); i++) {
            for (int j = bagSize; j >= nums[i]; j--) {
                dp[j] += dp[j - nums[i]];
            }
        }
        return dp[bagSize];
    }
};

时间复杂度：$O(n\times m)$，n为正数个数，m为背包容量
空间复杂度：$O(m)$，m为背包容量

dp[j] += dp[j - nums[i]];：求装满背包有几种方法

3 一和零

474.一和零

思路：
本题中strs 数组里的元素就是物品，每个物品都是一个！
而m 和 n相当于是一个背包，两个维度的背包。
（1）确定dp数组（dp table）以及下标的含义
dp[i][j]：最多有i个0和j个1的strs的最大子集的大小为dp[i][j]
（2）确定递推公式
dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - zeroNum][j - oneNum] + 1);
（3）dp数组如何初始化：初始为0

（4）确定遍历顺序：外层for循环遍历物品，内层for循环遍历背包容量且从后向前遍历！

for (string str : strs) { // 遍历物品
	int oneNum = 0, zeroNum = 0;
	for (char c : str) {
		if (c == '0') zeroNum++;
		else oneNum++;
	}
	for (int i = m; i >=zeroNum; i--) {// 遍历背包容量且从后向前遍历
		for (int j = n; j >= oneNum; j--) {
			dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - zeroNum][j - oneNum] + 1);
		}
	}
}

（5）举例推导dp数组

C++：

class Solution {
public:
    int findMaxForm(vector<string>& strs, int m, int n) {
        vector<vector<int>> dp(m + 1, vector<int>(n + 1, 0));// 默认初始化0
        for (string str : strs) {
            int oneNum = 0, zeroNum = 0;
            for (char c : str) {
                if (c == '0') zeroNum++;
                else oneNum++;
            }
            for (int i = m; i >= zeroNum; i--) {// 遍历背包容量且从后向前遍历
                for (int j = n; j >= oneNum; j--) {
                    dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - zeroNum][j - oneNum] + 1);
                }
            }
        }
        return dp[m][n];
    }
};

时间复杂度: $O(kmn)$，k 为strs的长度
空间复杂度: $O(mn)$

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