notes:1收敛与一致收敛 2共形变换

1试着做自己的解释：

对于一个收敛的函数，按定义
复平面上任一点z0都存在一个 最小可能的N_min(z0）,
such that 函数项级数在z0的数项级数序数n大于N时，高序数项求和小于精度要求小于\epsilon。
(为什么是最小可能？从较小的N开始求和若满足，较大的N自然满足.)

N in general depends on accuracy and position, N(z,\epsilon) .

一致收敛：不同的点的最小可能序数形成一个集合{N_min(z)}，如果能找到其中最大的那个max{N_min(z)}，不妨以这个N_max为所有点的标准，他们自然依旧收敛。若能找出这个最大值，则称函数项级数在区域G内一致收敛，若找不出这个最大值，则不为一致收敛.

这句话在教材中的表示一般为：若存在和z无关的N.

Brief notes on Conformal Transformation

对这样一个简单的概念，不同的教材给了不同的定义（显然他们都正确）。我前前后后理解了很多遍，与好几个人讨论，才有了一份自洽的理解。实在不是什么真知灼见，不过证明了我个人的愚笨而已。但这些摸索后的顿悟是我要私藏的珠宝。

共形变换，不同于坐标变换，后者并不改变流形上某点的矢量（矢量lies on VectorSpace）。

先说坐标变换，用被动观点看这事，坐标变换不过改变了那一点p的坐标值。而对不同坐标，在矢量空间诱导的\partial/\partial x^\mu 不同，也就是不同的坐标系诱导的坐标基矢量不同，把同一个矢量v用两套完备的基矢量展开，得到的分量自然不同。

“当观察者看一个矢量时他在看什么？”这是一个好问题，要写出一个矢量我们一定需要某个（组）基矢量。“能意识到有基矢量这个东西”和“矢量协变性”可以互推。所以即便是对坐标变换下不变的矢量，在观者看来其分量也会发生改变，过程如下：

我们暂时切换到主动观点，有一个便面上的悖论：
A：在主动观点里一个微分同胚往往会诱导出右边流形上一个不同的矢量场（参考规范场引力和扭结Ex.19），那这样一个坐标变换岂不是改变了矢量？
B：把y_niu(x_mu)看成一种变换，后者的分量(cos\theta,sin\theta)之所以不同于前者，是因为观者以为自己还在原来的参考系而矢量发生了一个变换。殊不知这完全可以是他自己的参考系发生了变换(成了y系)，在这个视角下两个“不同分量”的矢量对应的是矢量空间的同一个元素。