计算机导论02-计算机运算基础

数制及其转换

进位计数制

数码、基数、位权

术语 定义
数码 表示基本数值大小的不同数字符号。例如,十进制的数码有0、1、2、3、4、5、6、7、8、9。
基数 数制所使用的数码的个数。例如,十进制的基数为10。
位权 数码在不同位置上所代表的值不同,每个数码所表示的数值等于该数码乘以位权。在十进制中,数字6在十位数位置上表示60。每个位置的位权是与数码所在位置相关的常数。

N进制数制的特点

  1. 基数为N: N进制数制的基数即为N,表示该数制所使用的数码的个数。

  2. 数码范围: 共有0, 1, …, N-1共N个数码,最大的数码为N-1。此外,还包括一个符号“小数点”,用于表示小数部分。

  3. 进位原则: N进制数制采用“逢N进一”的进位原则。当某一位的数码达到N时,就要向高位进位,并将该位的数码重新从0开始。这类似于十进制中当个位数达到9时,就进位到十位,重新从0开始。

计算机中常用的数制

数制 基数 数码 计数规则
十进制 10 0、1、2、3、4、5、6、7、8、9 逢10进1
二进制 2 0、1 逢2进1
八进制 8 0、1、2、3、4、5、6、7 逢8进1
十六进制 16 0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、A、B、C、D、E、F 逢16进1(A、B、C、D、E、F对应10-15)

计算机使用二进制的原因

技术实现简便

  1. 二进制中的0和1分别对应硬件中电路的接通和断开,电流的强弱,电位的高低等基本状态。这使得计算机硬件的设计和实现更加容易。

运算规则简单
二进制运算规则简单明确,例如二进制加法只有四种可能的结果:0、1、10、11,而二进制乘法也仅有0和1的组合。这简化了计算机中的运算过程。

二进制加法法则 二进制乘法法则
0+0=0, 0+1=1+0=1, 1+1=10 0×0=0, 0×1=1×0=0, 1×1=1

可靠性高
由于二进制计算规则简单,电路实现也相对简单,因此计算机硬件工作更为稳定,可靠性更高。

逻辑判断方便
二进制只有两个可能的状态,即0和1,与逻辑计算中的真假、True和False完美对应。这使得计算机在进行逻辑判断时更为方便和直观。

不同数制间的转换

十进制与二进制、八进制、十六进制对应关系

计算机导论02-计算机运算基础_第1张图片

图片来源教材配套课件

非常感谢你的提问!我理解你想要整理一下关于非十进制数转换为十进制数的笔记。以下是对你的笔记内容的整理:

非十进制数转换为十进制数

在计算机科学中,将非十进制数转换为十进制数的方法采用按位权展开再求和的方式。任何一个R进制数N(包括整数和小数部分)均可表示为如下形式:

在这里插入图片描述

其中:
计算机导论02-计算机运算基础_第2张图片

例:

考虑二进制数 10001101.11转为十进制数:

在这里插入图片描述

=141.75

十进制转化成非十进制

除基取余法

除基取余,逆序排列,商零终止
除以基数取余数,逆序排列(先得到的余数排在低位,后得到的余数排在高位),商为零终止。用于整数部分

求:35转化成2进制
计算机导论02-计算机运算基础_第3张图片

35的二进制为100011

乘基取整,顺序排列,余零终止
乘以基数取整数,顺序排列(先得到的整数排在高位,后得到的整数排在低位),余零终止(备注:十进制小数转换为非十进制小数的过程可能是无限的,即得不到余数为零的结果,此时根据有效数字的要求直接间断)

例:十进制0.25转化成二进制计算机导论02-计算机运算基础_第4张图片

整数及小数部分分别转换,结果用小数点连接

例:求十进制35.25的二进制
根据上面的结果,再相加为100011.01

二进制转化成八进制

转换原则
整数部分从低位到高位每三位为一组(不足3位在高位用0补足),小数部分从高位到低位每三位为一组(不足3位在低位用0补足),然后将每组三位二进制数转换成对应的一位八进制数。一组一组地转换成对应的八进制数,即得到转换的结果。

整、小独立,合三为一,不足补零
整数部分和小数部分分别独立转换,小数点向前或向后合三位二进制码为一位八进制码,不足三位的数码以零补足为三位

八进制 二进制
0 000
1 001
2 010
3 011
4 100
5 101
6 110
7 111

例:求二进制1001011.11101的八进制
计算机导论02-计算机运算基础_第5张图片

八进制数转换为二进制数

整、小独立,一分为三
整数部分和小数部分分别独立转换,一位八进制码分成三位二进制码

例:八进制261.34转化成二进制
计算机导论02-计算机运算基础_第6张图片

二进制和16进制转换

类似地,十六进制数与二进制数的转换原则是,十六进制数中的每一位用4位二进制数来表示。

十六进制 二进制
0 0000
1 0001
2 0010
3 0011
4 0100
5 0101
6 0110
7 0111
8 1000
9 1001
A 1010
B 1011
C 1100
D 1101
E 1110
F 1111

计算机中数据的表示

数的机器码表示

机器数和真值

  1. 机器数
    • 用“0”表示正号,“1”表示负号,符号位在最高数值位之前。
    • 例如:[N1]原=01101101,[N2]原=11101101
  2. 真值
    • 表示数的符号用“+”、“-”,与机器数不同。
    • N1=+1101101,N2=-1101101

原码

  • 符号位为0表示正数,为1表示负数,数值部分用二进制数的绝对值表示。
  • 例如:+59的原码为00111011,-59的原码为10111011。

注意:0的原码有两个值,分为“正零”和“负零”。

  • [+0]原=00000000
  • [-0]原=10000000

反码

  • 为了便于求负数的补码。
  • 正数的反码与原码相同,负数的反码是符号位不变,数值位逐位取反。

例如:[+59]反=[+59]原=00111011[-59]反=11000100

补码

  • 将某数X加上模数K,称为以K为模的X的补码。
  • 正数的补码最高位为符号“0”,数值部分为该数本身。
  • 负数的补码最高位为符号“1”,数值部分为用模减去该数的绝对值。

二进制数的补码简便求法:

  • 正数的补码与其原码相同。
  • 负数的补码是符号位不变,数值位逐位取反(求反码),然后在最低位加1(求反加1)。

例如:

  • [+59]补=[+59]原=00111011
  • [-59]原=10111011,[-59]反=11000100
  • [-59]补=[-59]反+1=11000100+1=11000101

数值数据的表示

定点数表示

所谓定点格式,即约定机器中所有数据的小数点位置是固定不变的。通常将定点数据表示成纯小数或纯整数。为了将数表示成纯小数,通常把小数点固定在数值部分的最高位之前;而为了把数表示成纯整数,则把小数点固定在数值部分的最后面

浮点数表示

浮点表示法就是把一个数的有效数字和数的范围在计算机中分别予以表示。这种把数的范围和精度分别表示的方法,相当于数的小数点位置随比例因子的不同而在一定范围内自由浮动。因此称为浮点表示法。
计算机导论02-计算机运算基础_第7张图片

S为尾数的符号位,放在最高一位;E为阶码,紧跟在符号位之后,占m位;M为尾数,放在低位部分,占n位。

位数 类型 描述
1 符号 符号位,表示数字的正负
m 阶码 阶码位数,影响数字的大小
n 尾码 尾码位数,影响数字的精度
总计 64 机器字长总位数

设机器字长是64,则64 = 1 + m + n
m越大,则n越小,X越大;阶码越大(越小),数的绝对值越大(越小),有效数字越少(越多),符合越大(越小)的数字精度越低(越高)的要求。

非数值数据的表示

西文字符的表示 - ASCII码

编码方法:
高三位(区号,0到7列),低四位(位号0到15行)
占用1B空间,8位二进制码的最高位(表示校验码,或ASCII的版本号)

二进制 十进制 十六进制 字符/缩写 解释
00000000 0 00 NUL (NULL) 空字符
00000001 1 01 SOH (Start Of Headling) 标题开始
00000010 2 02 STX (Start Of Text) 正文开始
00000011 3 03 ETX (End Of Text) 正文结束
00000100 4 04 EOT (End Of Transmission) 传输结束
00000101 5 05 ENQ (Enquiry) 请求
00000110 6 06 ACK (Acknowledge) 回应/响应/收到通知
00000111 7 07 BEL (Bell) 响铃
00001000 8 08 BS (Backspace) 退格
00001001 9 09 HT (Horizontal Tab) 水平制表符
00001010 10 0A LF/NL(Line Feed/New Line) 换行键
00001011 11 0B VT (Vertical Tab) 垂直制表符
00001100 12 0C FF/NP (Form Feed/New Page) 换页键
00001101 13 0D CR (Carriage Return) 回车键
00001110 14 0E SO (Shift Out) 不用切换
00001111 15 0F SI (Shift In) 启用切换
00010000 16 10 DLE (Data Link Escape) 数据链路转义
00010001 17 11 DC1/XON (Device Control 1/Transmission On) 设备控制1/传输开始
00010010 18 12 DC2 (Device Control 2) 设备控制2
00010011 19 13 DC3/XOFF (Device Control 3/Transmission Off) 设备控制3/传输中断
00010100 20 14 DC4 (Device Control 4) 设备控制4
00010101 21 15 NAK (Negative Acknowledge) 无响应/非正常响应/拒绝接收
00010110 22 16 SYN (Synchronous Idle) 同步空闲
00010111 23 17 ETB (End of Transmission Block) 传输块结束/块传输终止
00011000 24 18 CAN (Cancel) 取消
00011001 25 19 EM (End of Medium) 已到介质末端/介质存储已满/介质中断
00011010 26 1A SUB (Substitute) 替补/替换
00011011 27 1B ESC (Escape) 逃离/取消
00011100 28 1C FS (File Separator) 文件分割符
00011101 29 1D GS (Group Separator) 组分隔符/分组符
00011110 30 1E RS (Record Separator) 记录分离符
00011111 31 1F US (Unit Separator) 单元分隔符
00100000 32 20 (Space) 空格
00100001 33 21 !
00100010 34 22 "
00100011 35 23 #
00100100 36 24 $
00100101 37 25 %
00100110 38 26 &
00100111 39 27
00101000 40 28 (
00101001 41 29 )
00101010 42 2A *
00101011 43 2B +
00101100 44 2C ,
00101101 45 2D -
00101110 46 2E .
00101111 47 2F /
00110000 48 30 0
00110001 49 31 1
00110010 50 32 2
00110011 51 33 3
00110100 52 34 4
00110101 53 35 5
00110110 54 36 6
00110111 55 37 7
00111000 56 38 8
00111001 57 39 9
00111010 58 3A :
00111011 59 3B ;
00111100 60 3C <
00111101 61 3D =
00111110 62 3E >
00111111 63 3F ?
01000000 64 40 @
01000001 65 41 A
01000010 66 42 B
01000011 67 43 C
01000100 68 44 D
01000101 69 45 E
01000110 70 46 F
01000111 71 47 G
01001000 72 48 H
01001001 73 49 I
01001010 74 4A J
01001011 75 4B K
01001100 76 4C L
01001101 77 4D M
01001110 78 4E N
01001111 79 4F O
01010000 80 50 P
01010001 81 51 Q
01010010 82 52 R
01010011 83 53 S
01010100 84 54 T
01010101 85 55 U
01010110 86 56 V
01010111 87 57 W
01011000 88 58 X
01011001 89 59 Y
01011010 90 5A Z
01011011 91 5B [
01011100 92 5C \
01011101 93 5D ]
01011110 94 5E ^
01011111 95 5F _
01100000 96 60 `
01100001 97 61 a
01100010 98 62 b
01100011 99 63 c
01100100 100 64 d
01100101 101 65 e
01100110 102 66 f
01100111 103 67 g
01101000 104 68 h
01101001 105 69 i
01101010 106 6A j
01101011 107 6B k
01101100 108 6C l
01101101 109 6D m
01101110 110 6E n
01101111 111 6F o
01110000 112 70 p
01110001 113 71 q
01110010 114 72 r
01110011 115 73 s
01110100 116 74 t
01110101 117 75 u
01110110 118 76 v
01110111 119 77 w
01111000 120 78 x
01111001 121 79 y
01111010 122 7A z
01111011 123 7B {
01111100 124 7C |
01111101 125 7D }
01111110 126 7E ~

汉字的表示

  • GB2312字符集。
  • BIG5字符集。
  • GBK字符集。
  • GB18030字符集。

汉字编码占用2B空间,区位码,国标码,机内码;
GB18030-2000字符集

Unicode码

Unicode为每种语言中的每个字符设定了统一并且唯一的二进制编码,以满足跨语言、跨平台进行文本转换、处理的要求。

Universal-code:通用编码,统一编码,16位字符集,每个字符占2B空间,计可表示216个不同字符,可扩展到32位字符集。

数据存储与数据运算

数据存储

存储单元

在计算机中最小的信息单位是bit,也就是一个二进制位(b),8个bit组成一个Byte,也就是字节(B)。一个存储单元(memory cell)可以存储一个字节,也就是8个二进制位。
存储单元的地址称为存储地址(memory address),一般用十六进制数表示,从0开始顺序编号。

数据的存储单位

中文单位 中文简称 英文单位 英文简称
字节 字节 Byte B
千字节 KiloByte KB
兆字节 MegaByte MB
吉字节 GigaByte GB
太字节 TeraByte TB
拍字节 PetaByte PB
艾字节 ExaByte EB
泽字节 ZettaByte ZB
尧字节 YottaByte YB

数据运算

定点加、减法运算

定点加、减法运算属于算术运算,要考虑参加运算数据的符号和编码格式。在计算机中,定点数据主要有原码、反码、补码三种形式。

补码运算时,可以将符号位与数值位一起处理,因此,现代计算机的运算器一般都采用补码形式进行加减法运算

(1)补码加法
补码加法的公式是:
[x]补+[y]补=[x+y]补

(2)补码减法
由于减去一个数就是加上这个数的负数,因此
[x-y]补=[x+(-y)]补=[x]补+[-y]补

从[y]补求[-y]补的法则:当已知[y]补要求[-y]补时,只要将[y]补连同符号位“取反且最低位加1”即可。

(3)溢出及其判断
如果两数进行加减运算之后的运算结果超出了给定的取值范围,这就称为溢出。
正溢: 两个正数相加,结果大于机器所能表示的最大正数
负溢: 两个负数相加,结果小于机器所能表示的最小负数

定点乘除法运算

实现乘除法运算的方式主要有三种:

  1. 软件实现: 通过编写软件算法来完成乘除法运算。

  2. 硬件实现(基本运算电路的增强): 在原有的基本运算电路基础上,引入左右移位和计数器等逻辑电路,同时增加专门的乘除法指令,以实现乘除法运算。

  3. 硬件实现(单元阵列乘除法器): 随着大规模集成电路的发展,出现了高速的单元阵列乘除法器。这些乘除法器采用并行计算的方式,通过流水线处理乘除法运算,也可以通过专门的乘除法指令来调用。

逻辑运算

  • 逻辑非运算(NOT)
  • 逻辑与运算(AND)
  • 逻辑或运算(OR)
  • 逻辑异或运算(XOR)

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