【机器学习前置知识】狄利克雷分布
在阅读本文前，建议先食用以下几篇文章以能更好地理解狄利克雷分布：
二项分布
Beta分布
多项分布
共轭分布
狄利克雷分布
狄利克雷分布(Dirichlet distribution)是Beta分布的扩展，把Beta分布从二元扩展到多元形式就是狄利克雷分布，Beta分布是狄利克雷分布的二元特例。
在共轭方面，可以类比Beta分布与二项分布的关系，狄利克雷分布是多项分布的共轭分布，因此狄利克雷分布常作为多项分布的先验分布使用，它是多项分布似然的共轭先验。
狄利克雷分布本质上是多元连续型随机变量的概率密度分布，假设多元随机变量 θ = ( θ 1 , θ 2 , . . . , θ k ) θ=(θ_1,θ_2,...,θ_k) θ=(θ1,θ2,...,θk) 服从参数 α = ( α 1 , α 2 , . . . , α k ) \alpha=(\alpha _1,\alpha _2,...,\alpha _k) α=(α1,α2,...,αk) 的狄利克雷分布，记作 θ ∽ D i r ( α ) θ \backsim Dir(\alpha) θ∽Dir(α) ，则概率密度函数可表示为：
p ( θ ∣ α ) = Γ ( ∑ i = 1 k α i ) ∏ i = 1 k Γ ( α i ) ∏ i = 1 k θ i α i − 1 = 1 B ( α ) ∏ i = 1 k θ i α i − 1 ( 1 ) p(θ|\alpha)={\Gamma(\sum_{i=1}^k{\alpha _i})\over{\prod_{i_=1}^k\Gamma(\alpha _i)}}\prod_{i=1}^k θ_i^{\alpha_{i-1}}={1\over{B(\alpha)}}\prod_{i=1}^k θ_i^{\alpha_{i-1}} \ \ \ \ \ (1) p(θ∣α)=∏i=1kΓ(αi)Γ(∑i=1kαi)∏i=1kθiαi−1=B(α)1∏i=1kθiαi−1 (1)
其中， ∑ i = 1 k θ i = 1 \sum_{i=1}^kθ_i=1 ∑i=1kθi=1 ， θ i ≥ 0 θ_i \geq 0 θi≥0 ， α i > 0 \alpha_i > 0 αi>0
初识者对式 ( 1 ) (1) (1) 可能不明就里，我们来对它做个通俗的解释。
在二项分布和Beta分布中我们曾以抛硬币举例，因为他们只涉及到二元变量，硬币的正反面就可以表示。
在多项分布里面用的是骰子举例，狄利克雷分布也同样可以效仿之。
假设有个生产骰子的工厂，这个工厂技术精湛且先进，不仅能造出一般的质地均匀的六面骰子，甚至可以造出任意质地任意多个面的骰子，这里质地均匀指的是骰子掷出每个面的概率相同，任意质地指掷出每个面的概率不同(但和为1)。在此背景下，狄利克雷分布中的 k k k 元随机变量 θ = ( θ 1 , θ 2 , . . . , θ k ) θ=(θ_1,θ_2,...,θ_k) θ=(θ1,θ2,...,θk) 可以看作掷一枚这个工厂生产的具有 k k k 个面的骰子时， 每个面出现的概率；参数 α = ( α 1 , α 2 , . . . , α k ) \alpha=(\alpha _1,\alpha _2,...,\alpha _k) α=(α1,α2,...,αk) 可以看作掷 n n n 次骰子中， k k k 个面中每个面出现的次数，并且满足 ∑ i = 1 k θ i = 1 \sum_{i=1}^kθ_i=1 ∑i=1kθi=1 ， ∑ i = 1 k α i = n \sum_{i=1}^k\alpha_i=n ∑i=1kαi=n 。
因为 θ θ θ 满足 ∑ i = 1 k θ i = 1 \sum_{i=1}^kθ_i=1 ∑i=1kθi=1 ， θ i ≥ 0 θ_i \geq 0 θi≥0 ，可以说狄利克雷分布的 k k k 元随机变量 θ = ( θ 1 , θ 2 , . . . , θ k ) θ=(θ_1,θ_2,...,θ_k) θ=(θ1,θ2,...,θk)是定义在 k − 1 k-1 k−1 维概率单纯形（K-dimentional probability simplex）上的。二维单纯形是个三角形、有三个顶点(三维单纯形是四面体、有四个顶点)，比如当 k = 3 k=3 k=3 时，令 θ 1 、 θ 2 、 θ 3 θ_1、θ_2、θ_3 θ1、θ2、θ3 分布在三维空间 z = 1 − x − y z=1-x-y z=1−x−y 的平面三角形上。
