3.1 量子力学中的数学形式 Mathematical formalism in QM

https://www.youtube.com/watch?v=CpOofKV5WR0&list=PL65jGfVh1ilueHVVsuCxNXoxrLI3OZAPI&index=35

前言

量子力学的数学形式就是无限维度的向量空间的线性代数，如果你对这个不熟悉，别怕，本课将带你一步一步深入了解量子力学的背后含义，而不是简单的表达出波函数。

1. 通常的形式

• 量子力学描述的是任何物体的状态，描述的方法为波函数，这里波函数可以很多种可能的形式，比如写成高斯函数，或者写成指数形式等等。一种写法是我们之前讨论过的，即基函数的线性叠加，这里的波函数就是在（有限or无限）势阱，谐振子势垒状态下求得的波函数。对于自由粒子，由于波函数的无限延伸，所以需要用积分的形式。最后一种就是我们将要学习的算符表示法:。
  
• 接下来我们就讲讲，为啥最后一种好

2. 希尔伯特空间

• 希尔伯特空间的本质就是无限维度空间！！

• 在希尔伯特空间的向量用表示，它比波函数更加有用，在某些情况下，即使我们不知道波函数，通过仍然可以得到非常有用的结论！

• 通过内积 可以把波函数用非常简单的形式表示。

• 归一化的表示方法
  

• 正交化的表示方法
  
  正交空间可以用delta函数表示：
  

• 完备空间
  

3. 可观测量的希尔伯特表示

• 实数Q的期望如何用希尔伯特空间形式来表示呢？
  
  
  注意哈：这里形式是不是有些似曾相识？
  对，这就是厄米矩阵，所以Q算符必须是厄米矩阵

• 举例：向量是否是厄米矩阵
  
  可以用下式表示：
  
  求解上述积分
  
  
  
  

• 测的准定律
  Q的方差用希尔伯特空间形式表示：
  
  假设上述方程等于0，即方差为零，首先如果那方程就没意思了，大家全是零。那么如果
  那么只有
  
  注意了，这就回到了本征方程，或者经典薛定谔方程的问题了，即
  
  也就是说满足上述等式的算符，对应的特征值是唯一的！方差为零！不受测不准定理的限制！