C语言-算法分析与设计-斐波那契数列-递归与迭代算法

实验内容

（1）实现递归与迭代斐波那契数列的算法

（2）阐述比较结果。

（3）利用算法采用的设计方法，时间复杂度等分析得到该结果的原因。

递归算法

int F(int n) 
{
    if (n == 0 || n == 1) {
        return n;
    }
    else {
        return F(n - 1) + F(n - 2);
    }
}

递归算法耗时

迭代算法

int f(int n) 
{
    if (n == 0 || n == 1) {
        return n;
    }
    int p = 0, cur = 1;
    for (int i = 2; i <= n; i++) {
        int next = p + cur;
        p = cur;
        cur = next;
    }
    return cur;
}

迭代算法耗时

时间效率对比

实验结果

        由可视化分析可以得出，当n逐渐增大后，递归算法的时间明显高于迭代算法求斐波那契数列的时间，迭代算法求30个斐波那契数列的时间几乎为0,而递归算法耗费了0.16ms左右。

原因分析

1)递归算法

        递归算法在求解斐波那契数列时，由于存在大量的重复计算，会导致算法的效率非常低。因此，递归算法求斐波那契数列的耗时相对较长。具体来说，对于斐波那契数列中的任意一项，递归算法需要计算前两项的值，然后通过加法运算得到当前项的值。在这个过程中，如果前两项的值已经在之前的计算中计算过，递归算法就会重复计算这些值，导致效率低下。

2)迭代算法

        迭代算法的时间效率更高，迭代算法的执行时间随着递归深度的增加而增加的程度要远远低于递归算法。迭代算法使用循环结构来计算斐波那契数列的每个值，避免了递归调用所需的额外开销。在迭代算法中，我们可以通过循环的方式逐步计算斐波那契数列中的每一项，不需要像递归算法那样重复计算之前的项值。因此，迭代算法的时间复杂度相对较低，通常为O(n)，其中n是要求的斐波那契数列的项数。

n和2^n算法复杂度对比

	n	2^n	faster
n=5	5	32	6.4
n=10	10	1024	102.4
n=15	15	32768	2184.533333
n=20	20	1048576	52428.8
n=25	25	33554432	1342177.28
n=30	30	1073741824	35791394.13

        对于递归算法，它能够通过不断地调用自身来计算斐波那契数列。但是由于每个斐波那契数依赖于前两个数，递归算法会重复计算相同的斐波那契数，导致时间复杂度较高。具体来说，递归算法的时间复杂度是指数级别的，大致为O(2^n)。

        对于迭代算法，它通过循环计算斐波那契数列，避免了重复计算的问题。迭代算法的时间复杂度较低，具体为O(n)，其中n是斐波那契数列的长度。

        当n很小的时候可能相差不是很明显。当数据量很大的时候 n的优势将会比2^n越来越大，由计算可得，当我们令n=15的时候，n的算法要比2^n的算法快32768倍，就是如果我们要处理一个数据集，用n的算法要处理1天的话，用2^n的算法将要处理32768天，这就基本相当于是89年。

        综上所述，迭代算法在求解斐波那契数列时具有更低的时间复杂度，是更有效的方法。

源码

递归

#include 
#include 

unsigned long long fibonacciRecursion(int n) {
    if (n <= 1) {
        return n;
    }
    return fibonacciRecursion(n - 1) + fibonacciRecursion(n - 2);
}

int main() {
    printf("计算斐波那契数列的前30个数(递归算法)：\n");
    for (int i = 0; i < 31; i++) {
        clock_t start_time = clock();
        unsigned long long result = fibonacciRecursion(i);
        clock_t end_time = clock();
        double total_time = (double)(end_time - start_time) / CLOCKS_PER_SEC;
        printf("第%d个斐波那契数：%llu，耗时：%f秒\n", i, result, total_time);
    }

    return 0;
}

迭代

#include 
#include 

void fibonacciIteration(int n) {
    unsigned long long a = 0, b = 1, sum;
    printf("计算斐波那契数列的前%d个数(迭代算法)：\n", n);
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        clock_t start_time = clock();
        if (i <= 1) {
            sum = i;
        }
        else {
            sum = a + b;
            a = b;
            b = sum;
        }
        clock_t end_time = clock();
        double total_time = (double)(end_time - start_time) / CLOCKS_PER_SEC;
        printf("第%d个斐波那契数：%llu，耗时：%f秒\n", i, sum, total_time);
    }
}

int main() {
    fibonacciIteration(31);
    return 0;
}