【算法分析与设计】最大子数组和

题目

给你一个整数数组 nums ,请你找出一个具有最大和的连续子数组(子数组最少包含一个元素),返回其最大和。

子数组 是数组中的一个连续部分。

示例

示例 1:

输入:nums = [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4]
输出:6
解释:连续子数组 [4,-1,2,1] 的和最大,为 6 。

示例 2:

输入:nums = [1]
输出:1

示例 3:

输入:nums = [5,4,-1,7,8]
输出:23

方案一(暴力破解)

思路

三层for循环,

        第一层:字段最左边坐标

        第二层:子段最右边坐标

        第三层:字段从左到右遍历

代码实现.

(这是书上的代码,默认是所有都是负数的情况下,最大值为0);

class Solution {
    public int maxSubArray(int[] nums) {
        int sum=0;
        for(int i=0;isum){
                        sum=thisSum;
                    }
                }
            }
        }
        return sum;
    }
}

方案二(分治递归)

思路

分治法不是这道题时间复杂度最优的解法,但可能是这道题最有挑战性的解法。分治法的算法设计、时间复杂度分析都并不容易。这个解法建议详细阅读,赶时间的同学可以先跳到下一个解法。

既然是分治法,我们首先要考虑的就是如何「分」。要计算数组 nums 的最大子数组和,我们从数组中间将数组一分为二,则子数组可能位于:

  • 左半部分数组

  • 右半部分数组

  • 中间(穿过中间线)

将数组一分为二后,子数组可能位于的三个位置

其中,位于左半部分数组和位于右半部分数组的子数组,可以通过递归调用继续求解,这便是分治法的「治」。

对于穿过中间线的子数组,我们可以分别计算「中间线左侧的最大子数组和」以及「中间线右侧的最大子数组和」,把它们相加就得到「穿过中间线的最大子数组和」。

穿过中间线的子数组分左右两半计算

代码实现

public int maxSubArray(int[] nums) {
    return maxSubArray(nums, 0, nums.length - 1);
}
 
// 计算 nums[lo..hi] 的最大子数组和
// lo 表示 low,hi 表示 high
private int maxSubArray(int[] nums, int lo, int hi) {
    if (hi < lo) {
        return Integer.MIN_VALUE;
    } else if (hi == lo) {
        return nums[lo];
    }
    
    int mid = lo + (hi - lo) / 2;
    // 计算左半部分数组的最大子数组和
    int max_left = maxSubArray(nums, lo, mid);
    // 计算右半部分数组的最大子数组和
    int max_right = maxSubArray(nums, mid+1, hi);
    // 计算穿过中间线的子数组的最大和
    int max_mid = maxMidSubArray(nums, lo, mid, hi);
    return Math.max(max_left, Math.max(max_mid, max_right));
}
 
private int maxMidSubArray(int[] nums, int lo, int mid, int hi) {
    // 计算中间线左侧(且紧挨着中间线)的最大子数组和
    int max_mid_left = 0;
    if (mid >= lo) {
        max_mid_left = nums[mid];
        int sum = 0;
        for (int i = mid; i >= lo; i--) {
            sum += nums[i];
            max_mid_left = Math.max(max_mid_left, sum);
        }
    }
    
    // 计算中间线右侧(且紧挨着中间线)的最大子数组和
    int max_mid_right = 0;
    if (mid + 1 <= hi) {
        max_mid_right = nums[mid+1];
        int sum = 0;
        for (int i = mid + 1; i <= hi; i++) {
            sum += nums[i];
            max_mid_right = Math.max(max_mid_right, sum);
        }
    }
    
    return max_mid_left + max_mid_right;
}

方案三(动态规划)

算法分析

  1. 初始化两个变量 maxtemp 为数组第一个元素 nums[0]。其中,max 用于记录全局最大子数组和,而 temp 用于记录当前子数组的和。

  2. 使用一个循环遍历数组 nums,从第一个元素开始。

  3. 在循环中,对于当前元素 nums[i],更新 temp 的值,使其成为当前元素 nums[i] 和之前子数组的和中的较大者。这是通过 temp = Math.max(temp + nums[i], nums[i]) 实现的。这一步表示考虑是否将当前元素加入当前的子数组,或者重新开始一个新的子数组。

  4. 在每一步中,都更新 max 的值,将其设为 tempmax 中的较大者。这样,max 始终记录着全局最大子数组和。

  5. 循环结束后,max 中存储的就是整个数组中的最大子数组和

代码实现

class Solution {
    public int maxSubArray(int[] nums) {
        int max=nums[0];
        int temp=0;
        int flag=0;
    
        for(int i=0;i

【算法分析与设计】最大子数组和_第1张图片

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