2020-01-01 一个抽象数学定理的一个应用

本文介绍群论中的一个定理，这个定理有很多个名字，如下：

伯恩赛德计数定理 ，柯西-弗罗贝尼乌斯引理 ，轨道计数定理

这个定理描述比较抽象，如下：

给定群G ,集合X, 且G作用于X ，并定义 则 有：
作用的轨道数 =

该定理的证明略，下面通过一个应用说明定理的含义：

给定一个正方体，并给定3种不同颜色，对正方体的表面进行着色，每个面只能着一种颜色，问共有多少种不同的着色方法， （前提是，如果两种着色方法，正方体经过旋转之后相同，则这两种着色方法看作相同的着色方法）

这个问题可以通过列出所有着色方法一个个统计来计算，但是通过 轨道计数定理可以得到一个较简单的算法：

正方体的自然旋转看做群G , 六个面着色排列看做集合X,
作用的轨道数，也就是在群G作用下X被划分的等价类个数，每个等价类就是那些可以经过群G作用（正方体旋转）仍然保持相同的元素的集合，
则题目待求的 不同着色方法 实际就是该作用的轨道数：

正方体的旋转分为5类：
1，不动旋转1个
2，3个过面中心的对称轴，沿着其中任意一个旋转+-90度2 个旋转，共6个旋转
3， 3个过面中心的对称轴，沿其中任意一个旋转180度，共3个旋转
4， 6个过边中心对称轴，沿其中任意一个旋转180度，共 6个旋转
5， 4个过顶点对称轴，沿其中各有+-120度旋转，共 8个旋转

一共有24个旋转
则
因为这5类，同一类的旋转g对应的 是相同的，只需计算每一类其中任意一个g对应的 ， 其中 根据定义就是旋转下相同的着色个数

1， 不动旋转下，显然每种着色方法都不变，共有 3^6种
2， 转旋90度，要求绕轴的4个面颜色相同，另外2个面随意，则共有3^3种
3，旋转180度，要求绕轴的4个面 对面相同，另外两个随意，共3^4种
4，旋转180度，要求两两相同，共3^3种可能
5，3个面相同为1组，共2组，共 3^2种着色可能

因此，根据轨道计数定理；

也就是共有旋转不同的57种着色方法