LRU算法

引入

举个具体例子来看看 LRU 算法怎么工作

/* 缓存容量为 2 */
LRUCache cache = new LRUCache(2);
// 你可以把 cache 理解成一个队列
// 假设左边是队头,右边是队尾
// 最近使用的排在队头,久未使用的排在队尾
// 圆括号表示键值对 (key, val)

cache.put(1, 1);
// cache = [(1, 1)]

cache.put(2, 2);
// cache = [(2, 2), (1, 1)]

cache.get(1);       // 返回 1
// cache = [(1, 1), (2, 2)]
// 解释:因为最近访问了键 1,所以提前至队头
// 返回键 1 对应的值 1

cache.put(3, 3);
// cache = [(3, 3), (1, 1)]
// 解释:缓存容量已满,需要删除内容空出位置
// 优先删除久未使用的数据,也就是队尾的数据
// 然后把新的数据插入队头

cache.get(2);       // 返回 -1 (未找到)
// cache = [(3, 3), (1, 1)]
// 解释:cache 中不存在键为 2 的数据

cache.put(1, 4);    
// cache = [(1, 4), (3, 3)]
// 解释:键 1 已存在,把原始值 1 覆盖为 4
// 不要忘了也要将键值对提前到队头

设计思路

LRU算法_第1张图片

LRU 缓存算法的核心数据结构就是哈希链表,双向链表和哈希表的结合体。

这个数据结构长这样:

LRU算法_第2张图片

借助这个结构,我们来逐一分析上面的 3 个条件

1、如果我们每次默认从链表尾部添加元素,那么显然越靠尾部的元素就是最近使用的,越靠头部的元素就是最久未使用的。

2、对于某一个 `key`,我们可以通过哈希表快速定位到链表中的节点,从而取得对应 `val`。

3、链表显然是支持在任意位置快速插入和删除的,改改指针就行。只不过传统的链表无法按照索引快速访问某一个位置的元素,而这里借助哈希表,可以通过 `key` 快速映射到任意一个链表节点,然后进行插入和删除。
 

代码实现

很多编程语言都有内置的哈希链表或者类似 LRU 功能的库函数,但是为了帮大家理解算法的细节,我们先自己造轮子实现一遍 LRU 算法,然后再使用 Java 内置的 `LinkedHashMap` 来实现一遍。

首先,我们把双链表的节点类写出来,为了简化,`key` 和 `val` 都认为是 int 类型:

class Node {
    public int key, val;
    public Node next, prev;
    public Node(int k, int v) {
        this.key = k;
        this.val = v;
    }
}

然后依靠我们的 `Node` 类型构建一个双链表,实现几个 LRU 算法必须的 API:

class DoubleList {  
    // 头尾虚节点
    private Node head, tail;  
    // 链表元素数
    private int size;
    
    public DoubleList() {
        // 初始化双向链表的数据
        head = new Node(0, 0);
        tail = new Node(0, 0);
        head.next = tail;
        tail.prev = head;
        size = 0;
    }

    // 在链表尾部添加节点 x,时间 O(1)
    public void addLast(Node x) {
        x.prev = tail.prev;
        x.next = tail;
        tail.prev.next = x;
        tail.prev = x;
        size++;
    }

    // 删除链表中的 x 节点(x 一定存在)
    // 由于是双链表且给的是目标 Node 节点,时间 O(1)
    public void remove(Node x) {
        x.prev.next = x.next;
        x.next.prev = x.prev;
        size--;
    }
    
    // 删除链表中第一个节点,并返回该节点,时间 O(1)
    public Node removeFirst() {
        if (head.next == tail)
            return null;
        Node first = head.next;
        remove(first);
        return first;
    }

    // 返回链表长度,时间 O(1)
    public int size() { return size; }

}

到这里就能回答刚才「为什么必须要用双向链表」的问题了,因为我们需要删除操作。删除一个节点不光要得到该节点本身的指针,也需要操作其前驱节点的指针,而双向链表才能支持直接查找前驱,保证操作的时间复杂度 O(1)。

注意我们实现的双链表 API 只能从尾部插入,也就是说靠尾部的数据是最近使用的,靠头部的数据是最久未使用的。

有了双向链表的实现,我们只需要在 LRU 算法中把它和哈希表结合起来即可,先搭出代码框架:

class LRUCache {
    // key -> Node(key, val)
    private HashMap map;
    // Node(k1, v1) <-> Node(k2, v2)...
    private DoubleList cache;
    // 最大容量
    private int cap;
    
    public LRUCache(int capacity) {
        this.cap = capacity;
        map = new HashMap<>();
        cache = new DoubleList();
    }

先不慌去实现 LRU 算法的 `get` 和 `put` 方法。由于我们要同时维护一个双链表 `cache` 和一个哈希表 `map`,很容易漏掉一些操作,比如说删除某个 `key` 时,在 `cache` 中删除了对应的 `Node`,但是却忘记在 `map` 中删除 `key`。

解决这种问题的有效方法是:在这两种数据结构之上提供一层抽象 API。

说的有点玄幻,实际上很简单,就是尽量让 LRU 的主方法 `get` 和 `put` 避免直接操作 `map` 和 `cache` 的细节。我们可以先实现下面几个函数:

class LRUCache {
    // 为了节约篇幅,省略上文给出的代码部分...

    /* 将某个 key 提升为最近使用的 */
    private void makeRecently(int key) {
        Node x = map.get(key);
        // 先从链表中删除这个节点
        cache.remove(x);
        // 重新插到队尾
        cache.addLast(x);
    }

    /* 添加最近使用的元素 */
    private void addRecently(int key, int val) {
        Node x = new Node(key, val);
        // 链表尾部就是最近使用的元素
        cache.addLast(x);
        // 别忘了在 map 中添加 key 的映射
        map.put(key, x);
    }

    /* 删除某一个 key */
    private void deleteKey(int key) {
        Node x = map.get(key);
        // 从链表中删除
        cache.remove(x);
        // 从 map 中删除
        map.remove(key);
    }

    /* 删除最久未使用的元素 */
    private void removeLeastRecently() {
        // 链表头部的第一个元素就是最久未使用的
        Node deletedNode = cache.removeFirst();
        // 同时别忘了从 map 中删除它的 key
        int deletedKey = deletedNode.key;
        map.remove(deletedKey);
    }
}

这里就能回答之前的问答题「为什么要在链表中同时存储 key 和 val,而不是只存储 val」,注意 `removeLeastRecently` 函数中,我们需要用 `deletedNode` 得到 `deletedKey`。

也就是说,当缓存容量已满,我们不仅仅要删除最后一个 `Node` 节点,还要把 `map` 中映射到该节点的 `key` 同时删除,而这个 `key` 只能由 `Node` 得到。如果 `Node` 结构中只存储 `val`,那么我们就无法得知 `key` 是什么,就无法删除 `map` 中的键,造成错误。

上述方法就是简单的操作封装,调用这些函数可以避免直接操作 `cache` 链表和 `map` 哈希表,下面我先来实现 LRU 算法的 `get` 方法:

class LRUCache {
    // 为了节约篇幅,省略上文给出的代码部分...

    public int get(int key) {
        if (!map.containsKey(key)) {
            return -1;
        }
        // 将该数据提升为最近使用的
        makeRecently(key);
        return map.get(key).val;
    }
}

`put` 方法稍微复杂一些,我们先来画个图搞清楚它的逻辑:

LRU算法_第3张图片

这样我们可以轻松写出 `put` 方法的代码:

class LRUCache {
    // 为了节约篇幅,省略上文给出的代码部分...
    
    public void put(int key, int val) {
        if (map.containsKey(key)) {
            // 删除旧的数据
            deleteKey(key);
            // 新插入的数据为最近使用的数据
            addRecently(key, val);
            return;
        }
        
        if (cap == cache.size()) {
            // 删除最久未使用的元素
            removeLeastRecently();
        }
        // 添加为最近使用的元素
        addRecently(key, val);
    }
}

至此,应该已经完全掌握 LRU 算法的原理和实现了,我们最后用 Java 的内置类型 `LinkedHashMap` 来实现 LRU 算法,逻辑和之前完全一致。

class LRUCache {
    int cap;
    LinkedHashMap cache = new LinkedHashMap<>();
    public LRUCache(int capacity) { 
        this.cap = capacity;
    }
    
    public int get(int key) {
        if (!cache.containsKey(key)) {
            return -1;
        }
        // 将 key 变为最近使用
        makeRecently(key);
        return cache.get(key);
    }
    
    public void put(int key, int val) {
        if (cache.containsKey(key)) {
            // 修改 key 的值
            cache.put(key, val);
            // 将 key 变为最近使用
            makeRecently(key);
            return;
        }
        
        if (cache.size() >= this.cap) {
            // 链表头部就是最久未使用的 key
            // cache().keySet()返回一个包含缓存中所有键的集合
            // iterator()是用来遍历集合的方法,返回一个迭代器
            // next() 方法返回迭代器当前位置的下一个元素,即集合中的第一个元素
            int oldestKey = cache.keySet().iterator().next();
            cache.remove(oldestKey);
        }
        // 将新的 key 添加链表尾部
        cache.put(key, val);
    }
    
    private void makeRecently(int key) {
        int val = cache.get(key);
        // 删除 key,重新插入到队尾
        cache.remove(key);
        cache.put(key, val);
    }
}

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