java数据结构与算法刷题-----LeetCode62. 不同路径

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很多人觉得动态规划很难，但它就是固定套路而已。其实动态规划只不过是将多余的步骤，提前放到dp数组中（就是一个数组，只不过大家都叫它dp），达到空间换时间的效果。它仅仅只是一种优化思路，因此它目前的境地和线性代数一样----虚假的难。

1. 想想线性代数，在国外留学的学生大多数不觉得线性代数难理解。但是中国的学生学习线性代数时，完全摸不着头脑，一上来就是行列式和矩阵，根本不知道这玩意是干嘛的。
2. 线性代数从根本上是在空间上研究向量，抽象上研究线性关系的学科。人家国外的教科书都是第一讲就帮助大家理解研究向量和线性关系。
3. 反观国内的教材，直接把行列式搞到第一章。搞的国内的学生在学习线性代数的时候，只会觉得一知半解，觉得麻烦，完全不知道这玩意学来干什么。当苦尽甘来终于理解线性代数时干什么的时候，发现人家国外的教材第一节就把这玩意讲清楚了。你只会大骂我们国内这些教材，什么狗东西（以上是自己学完线性代数后的吐槽，我们同学无一例外都这么觉得）。

而我想告诉你，动态规划和线性代数一样，我学完了才知道，它不过就是研究空间换时间，提前将固定的重复操作规划到dp数组中，而不用暴力求解，从而让效率极大提升。

1. 但是网上教动态规划的兄弟们，你直接给一个动态方程是怎么回事？和线性代数，一上来就教行列式和矩阵一样，纯属恶心人。我差不多做了30多道动态规划题目，才理解，动态方程只是一个步骤而已，而这已经浪费我很长时间了，我每道题都一知半解不理解，过程及其痛苦。最后只能重新做。
2. 动态规划，一定是优先考虑重复操作与dp数组之间的关系，搞清楚后，再提出动态方程。而你们前面步骤省略了不讲，一上来给个方程，不是纯属扯淡吗？
3. 我推荐研究动态规划题目，按5个步骤，从上到下依次来分析

1. DP数组及下标含义
2. 递推公式
3. dp数组初始化
4. 数组遍历顺序（双重循环及以上时，才考虑）
5. dp数组打印，分析思路是否正确（相当于做完题，检查一下）

先理解题目细节

1. 机器人只能向右或向下走，也就是说，我们到达每一个方格，只有两种情况，从上面过来的，或者从左面过来的。注意区分“走过去”和“从哪过来的区别”，这是解出这道题的关键。
2. 所以与其考虑到达终点有几条路可以走，不如考虑到这个位置，可以从哪里来。

解题思路

1. 暴力求解的思想，就是回溯算法，枚举每一种情况，拿到最大值，显然会做大量无效运算。
2. 但是如果我们预先将其存储到dp数组，就可以直接通过dp[x], 获取dp数组中指定位置x的体力花费，而不用枚举。典型的动态规划题目

动态规划思考5步曲

1. DP数组及下标含义

我们要求出的是到达某个方块，可以从哪里过来，过来的方法有几种，那么dp数组中存储的就是到达这里有几种方法可以过来。要求出谁的可到达方法的数量呢？显然是某个方块，那么下标就是代表现在到了哪个方块，也就是代表到了某一方块后的可以过来的路。显然，需要2个下标表示，故这道题的dp数组需要二维数组

2. 递推公式

1. 由题意可知，只能选择向右走或者向下走，因此对于每个方块而言，只能是从上面过来，或者从左面过来。而第一行没有从上面来的路，因此只能从左面过来，也就是第一行都只有一条从左面来的路，都是1。同理第一列，没有从左面来的路，只能从上面过来，也只有从上面过来这一条路。

故：第一行和第一列都固定为1，F(0,n) = 1; F(n,0) = 1

2. 之后每一个方块，都需要考虑从上面来的路有几条，从左面来的路有几条。也就是到它上面的方块有几条路+到它左面的方块有几条路
3. 因此，可以得到，从第二行，第二列开始，递推公式变为，到左边方块的路+到上面方块的路。F(n,n) = F(n-1,n)+F(n,n-1)

3. dp数组初始化

4. 数组遍历顺序

双重循环，我们知道这道题，数组下标表示方块的位置，也就是所在行和列的位置。那么其中一层循环代表第几行，另外一层循环代表第几列。那么先遍历行还是列呢？我们发现，无论遍历哪个，都不影响。我们可以一列一列考虑，也可以一行一行考虑，因此，先遍历哪个都一样。我们这里选择先遍历行。

5. 打印dp数组（自己生成dp数组后，将dp数组输出看看，是否和自己预想的一样。）

代码:时间复杂度O(mn).空间复杂度O(mn)

class Solution {
    public int uniquePaths(int m, int n) {
        int dp[][] = new int[m][n];//dp数组表示到达每个方块，有几条路可以过来，下标表示每个方块
        for(int i = 0 ;i<m;i++){//两层循环，先遍历行
            for(int j = 0;j<n;j++){//后遍历列
                if(i==0 || j==0)dp[i][j]=1;//第一行只有从左面来的路，第一列只有从上面来的路。因此都只有1条路
                else{//其它的方块，可以到达的路为，到它上面那个方块dp[i-1][j]有几条路+到它左面dp[i][j-1]那个方块有几条路
                    dp[i][j] = dp[i-1][j]+dp[i][j-1];
                }
            }
        }
        return dp[m-1][n-1];//最终返回到终点这个方块，有几条路可以走
    }
}