高中奥数 2022-03-18

2022-03-18-01

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 不等式的解题方法与技巧 苏勇 熊斌 证明不等式的基本方法 P056 习题09）

设、、是正实数,求证:

证明

不妨设,令,,则.

原不等式转化为.

去分母,整理得,即

故原不等式成立.

注:本题也可以直接证.证法如下:

设,,

由于,则

左边-右边,

故原不等式成立.

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（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 不等式的解题方法与技巧 苏勇 熊斌 证明不等式的基本方法 P057 习题10）

设,且满足,求的最大值.

解

由已知,.

设,,,.

故

因此.

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（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 不等式的解题方法与技巧 苏勇 熊斌 证明不等式的基本方法 P057 习题11）

求证:在开区间内一定能找到四对两两不同的正数,满足:

证明

令,,,则

两边平方,有.

当0时,,则
原不等式成立.

显见,在开区间内选择4对两两不同的角对,使得存在某两个角对,满足是可以办到的,因此结论成立.

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（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 不等式的解题方法与技巧 苏勇 熊斌 证明不等式的基本方法 P057 习题12）

设是所有满足下列条件的三角形集合:

其中为内切圆半径,、、分别是内切圆切边、、的切点.求证:中所有三角形都是等腰三角形并且均相似.

证明

设,则,由题意可得

令,,,.

则上式等价于:,故

令,,则.

易证,故,于是易见结论成立.