高中奥数 2022-03-18

2022-03-18-01

(来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 不等式的解题方法与技巧 苏勇 熊斌 证明不等式的基本方法 P056 习题09)

设、、是正实数,求证:

证明

不妨设,令,,则.

原不等式转化为.

去分母,整理得,即

故原不等式成立.

注:本题也可以直接证.证法如下:

设,,

由于,则

左边-右边,

故原不等式成立.

2022-03-18-02

(来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 不等式的解题方法与技巧 苏勇 熊斌 证明不等式的基本方法 P057 习题10)

设,且满足,求的最大值.

由已知,.

设,,,.


\begin{aligned} p&=2\cos ^{2}\alpha-2\cos ^{2}\beta+3\cos ^{2}\gamma\\ &=2\cos ^{2}\alpha-2\cos ^{2}\beta+3\cos ^{2}\left(\alpha+\beta\right)\\ &=-2\sin\left(\alpha+\beta\right)\sin \left(\alpha-\beta\right)+3\cos ^{2}\gamma\\ &\leqslant 2\sin \gamma+3-3\sin ^{2}\gamma\\ &=-3\left(\sin \gamma-\dfrac{1}{3}\right)^{2}+\dfrac{10}{3}\\ &\leqslant \dfrac{10}{3}, \end{aligned}
因此.

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(来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 不等式的解题方法与技巧 苏勇 熊斌 证明不等式的基本方法 P057 习题11)

求证:在开区间内一定能找到四对两两不同的正数,满足:

证明

令,,,则

两边平方,有.

当0时,,则
原不等式成立.

显见,在开区间内选择4对两两不同的角对,使得存在某两个角对,满足是可以办到的,因此结论成立.

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(来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 不等式的解题方法与技巧 苏勇 熊斌 证明不等式的基本方法 P057 习题12)

设是所有满足下列条件的三角形集合:

其中为内切圆半径,、、分别是内切圆切边、、的切点.求证:中所有三角形都是等腰三角形并且均相似.

证明

设,则,由题意可得

令,,,.

则上式等价于:,故

令,,则.

易证,故,于是易见结论成立.

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