C++卡特兰数

卡特兰数简介

卡特兰数又称卡塔兰数，卡特兰数是组合数学中一个常出现在各种计数问题中的数列。以比利时的数学家欧仁·查理·卡塔兰 (1814–1894)的名字来命名。但最早是欧拉在1753年解决凸包划分成三角形问题的时候，推出的Catalan数。

初始值：f(0) = f(1) = 1
递推公式：f(n) = f(0) * f(n - 1) + f(1) * f(n - 2) + …… + f(n - 1) * f(0)

解决的问题：

1. 括号化：P=a1×a2×a3×……×an，依据乘法结合律，不改变其顺序，只用括号表示成对的乘积，试问有几种括号化的方案？（答案：catalan[n]）
2. 出栈次序：一个栈的进栈序列为1，2，3，…，n，有多少个不同的出栈序列?（答案：catalan[n]）
3. 凸多边形三角划分：在一个凸多边形中，通过若干条互不相交的对角线，把这个多边形划分成了若干个三角形，共有多少种不同的分法？（答案：catalan[n - 2]）
4. 给定节点组成二叉搜索树：给定N个节点，能构成多少种不同的二叉搜索树？（答案：catalan[n]）
5. n对括号正确匹配数目：给定n对括号，括号正确配对的字符串数是多少？（答案：catalan[n]）

这里我以第二个出栈次序的问题来讲述卡特兰数的由来。首先，我们设f(n)表示序列个数为n的出栈序列种数。（我们假定，最后出栈的元素为k，显然，k取不同值时的情况是相互独立的，也就是求出每种k最后出栈的情况数后可用加法原则，由于k最后出栈，因此，在k入栈之前，比k小的值均出栈，此处情况有f(k-1)种，而之后比k大的值入栈，且都在k之前出栈，因此有f(n-k)种方式，由于比k小和比k大的值入栈出栈情况是相互独立的，此处可用乘法原则，共f(n-k)*f(k-1)种，而k可以取1 ~ n，将所有的f(n-k)*f(k-1)求和便是Catalan递推式。

卡特兰数代码

有了递推关系式，代码简单到爆。

（PS：NR是指catalan数组元素个数的上限）

# include 
# include 
# include 
# include 
# include 
# include 

using namespace std;

# define FOR(i, a, b) for(int i = a; i <= b; i++)
# define _FOR(i, a, b) for(int i = a; i >= b; i--)

const int NR = 100000;

int n;
long long catalan[NR + 10];

int main()
{
	scanf("%d", &n);
	catalan[0] = catalan[1] = 1;
	FOR(i, 2, n)
		FOR(j, 0, i - 1)
			catalan[i] += catalan[j] * catalan[i - j - 1];
	printf("%lld\n", catalan[n]);
	return 0;
}

God Bless You For Ever!