四面体与四棱锥：2014年理数全国卷B题18

2014年理数全国卷B题18

如图，四棱锥 中，底面 为矩形，平面 ，为 的中点.

（Ⅰ）证明∶ // 平面 ;

（Ⅱ）设二面角 为 ，，求三棱锥 的体积.

2014年理数全国卷B18

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【解答问题Ⅰ】

记 交点为 , 连接 .

∵ 是矩形，∴ 是 中点，

又∵ 是 中点，

∴ （中位线性质）

∵ , 平面 ,

∴ // 平面 . 证明完毕.

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【解答问题Ⅱ】

延长 , 在平面 内作 , 点 为垂足.

是矩形,

.

平面 ,

平面 .

（三垂线定理）

是二面角 的平面角，

∴ .

平面 ,

是直角三角形，

, 为 的中点,

为 的中点,

.

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【提炼与提高】

每个三角形有三条边，同时有三条高线；每个四面体有四个面，同时也有四条高线。

所以，在求四面体的体积时，我们有四个观察几何体的视角可用，根据具体情况可以从中选择一个最方便计算的视角。

这是本题最重要的一条经验。

此外，还有以下几点值得重视：

『三垂线定理』

『二面角的平面角』

『三角形的面积比与边长比』

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