LeetCode 152. 乘积最大子数组（Python、动态规划）

“最大子数组和”的变型

题目描述

动态规划

思路和算法

如果我们用 $f_{\max }(i)$ 来表示以第 $i$ 个元素结尾的乘积最大子数组的乘积，$a$ 表示输入参数 $nums$，那么根据「53. 最大子序和」的经验，我们很容易推导出这样的状态转移方程：
$$f_{\max }(i)=\underset{i=1}{\overset{n}{\max }}\{f(i-1)\times a_i,a_i\}$$

它表示以第 $i$ 个元素结尾的乘积最大子数组的乘积可以考虑 $a_i$ 加入前面的 $f_{\max }(i-1)$ 对应的一段，或者单独成为一段，这里两种情况下取最大值。求出所有的 $f_{\max }(i)$ 之后选取最大的一个作为答案。

可是在这里，这样做是错误的。为什么呢？

因为这里的定义并不满足「最优子结构」。具体地讲，如果 $a=\{5,6,-3,4,-3\}$，那么此时 $f_{\max }$ 对应的序列是 $\{5,30,-3,4,-3\}$，按照前面的算法我们可以得到答案为 $30$，即前两个数的乘积，而实际上答案应该是全体数字的乘积。我们来想一想问题出在哪里呢？问题出在最后一个 $-3$ 所对应的 $f_{\max }$ 的值既不是 $-3$，也不是 $4\times -3$，而是 $5\times 30\times (-3)\times 4\times (-3)$。所以我们得到了一个结论：当前位置的最优解未必是由前一个位置的最优解转移得到的。

我们可以根据正负性进行分类讨论。

考虑当前位置如果是一个负数的话，那么我们希望以它前一个位置结尾的某个段的积也是个负数，这样就可以负负得正，并且我们希望这个积尽可能「负得更多」，即尽可能小。如果当前位置是一个正数的话，我们更希望以它前一个位置结尾的某个段的积也是个正数，并且希望它尽可能地大。于是这里我们可以再维护一个 $f_{\min }(i)$，它表示以第 ii 个元素结尾的乘积最小子数组的乘积，那么我们可以得到这样的动态规划转移方程：
$$\begin{array}{rl}{f}_{\max }(i)& =\underset{i=1}{\overset{n}{\max }}\{f_{\max }(i-1)\times a_i,f_{\min }(i-1)\times a_i,a_i\}\\ f_{\min }(i)& =\underset{i=1}{\overset{n}{\min }}\{f_{\max }(i-1)\times a_i,f_{\min }(i-1)\times a_i,a_i\}\end{array}$$

它代表第 $i$ 个元素结尾的乘积最大子数组的乘积 $f_{\max }(i)$，可以考虑把 $a_i$ 加入第 $i-1$ 个元素结尾的乘积最大或最小的子数组的乘积中，二者加上 $a_i$，三者取大，就是第 $i$ 个元素结尾的乘积最大子数组的乘积。第 $i$ 个元素结尾的乘积最小子数组的乘积 $f_{\min }(i)$ 同理。

不难给出这样的实现：

class Solution:
    def maxProduct(self, nums: List[int]) -> int:
        min_dp = 1    # 记录最小乘积
        max_dp = 1    # 记录最大乘积
        maxProduct = nums[0]
        for i in range(len(nums)):
            min_temp = min_dp
            max_temp = max_dp
            min_dp = min(min_temp * nums[i], max_temp * nums[i], nums[i])
            max_dp = max(min_temp * nums[i], max_temp * nums[i], nums[i])
            maxProduct = max(maxProduct, max_dp)
        return maxProduct

复杂度分析

记 nums 元素个数为 n。

• 时间复杂度：程序一次循环遍历了 nums，故渐进时间复杂度为 $O(n)$。
• 空间复杂度：优化后只使用常数个临时变量作为辅助空间，与 $n$ 无关，故渐进空间复杂度为 $O(1)$。

小记

“最大子数组和”是DP算法里的经典案例之一，经典到这个解法甚至有一个名称Kadane’s Algorithm。本题是“最大子数组和”的变型，但Kadane’s Algo依然适用。唯一要注意的是“乘法”下由于两个负数的乘积也依然可能得到一个很大的正数，所以必须同时计算“最小子数组和”，除此之外无任何区别。