微分方程-隐式通解

隐式方程

因为会遇到一些导数未接触的一阶微分方程. 这里讨论一阶隐式方程，其一般形式为

求解这类方程的基本思想是将 看成独立的变量而考虑把由代数方程 所定义的 上的曲面的参数化，再通过变量替换的方法把方程（2.46）化为导数已解出的显式方程，然后用之前的方法求解.

一般求解的具体做法：

第一步

将曲面 表示成参数形式

第二步

对（2.47）求 的微分，用 给出 和 的关系:

第三步

将 （2.48）、（2.49）带入（2.50）得

合并得到

从而化成了对成型是的微分方程.

第四步

如果用学过的方法求出了方程(2.51)的通解 ，则将他带入（2.47）就得到方程（2.46）的参数形式的解

其中 为任意常数. 如果方程（2.51）的通解是另一种形式 ，我们可以得到类似结果.

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讨论集中特殊形式的方程

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可以解出 的方程

这里函数 有连续的一阶偏导数. 这时曲面 的参数形式可为

其中 为参数. 对方程（2.53）两边关于 求导，得

整理可得到对称形式的方程：

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可以解出 的方程：

这里函数 有连续的一阶偏导数. 类似地曲面 的参数形式可为

其中 为参数. 对方程（2.55）两边关于 求导，得

由上式可解出 ，从而得到如下规范形式的一阶微分方程：

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不显含 的隐式方程

令 ，这时代数方程 代表 平面上的一条曲线，设该曲线有参数表示

其中 为参数. 由微分关系得

因此

这是一个变量分离的方程，其通解为

其中 为任意常数. 由此得方程（2.58）的参数形式的通解为

不显含 的隐式方程

令 ，同样，代数方程 代表 平面上的一条曲线，设其参数表示为

由微分关系得

因此，

故方程（2.61）的参数形式的通解为

其中 为任意常数.

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例子

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1

Sol:

令 ，则有

对方称两边关于 求导，得

即

当 时，方程有积分因子 ，用 乘 上述方程的两端，得

.

由此求出放曾的隐式通解：

其中 为任意常数. 接触 得

其中 . 从而原微分方程得参数形式的解为

当 时，由（2.65）可直接推知 也是微分方程的解.

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2

解

Sol:
令 ，则由方程得

于是

两边积分得

因此，方程的参数形式得通解为

其中 为任意常数.

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3

解

Sol:
令 由方程可得

当 时，由 ，则

因此，该方程的参数形式的解为

其中 为任意尝试. 此外，当 时，易知 也是方程的解.

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在某些情况下我们可从隐式方程中接触 ，因此可以将方程化为前两节讨论过的显式方程. 例如：若方程的形式为

若该方程关于 多项式有 个不同的实根 则对每个 ，该方程的求解问题都可归结为形式较简单的显式方程

的求解问题. 例如

可以写成

由此得两个方程

对这两个方程分别用分离变量法求解，从而得到原方程的不同解为

或

其中 为任意常数.

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若方程不显含 和 ，即方程的形式为

这时若方程（2.68）至少有一个实根 ，则有 . 将 带入方程（2.68），即得方程（2.68）的隐式通解

其中 为任意常数. 例如方程

由于方程的左边是一个关于 的 7 次多项式，因此该方程至少有一个实根，故有隐式通解

其中 为任意常数.