20200517听书笔记:《怎样解题》

关于作者

乔治·波利亚。他曾经担任瑞士苏黎世工业大学的数学系主任。后来,波利亚移居美国,担任布朗大学和斯坦福大学的教授,并且当选美国国家科学院院士,成为世界知名的数学家。

核心内容

本书围绕“探索法”这一主题,采用明晰动人的散文笔法,阐述了求得一个证明或解出一个未知数的数学方法。并且将这样的方法,迁移到更广阔的场景中。

就像波利亚在书中所说:「解题是一种实践性技能,我们可以通过模仿和实践来学会任何一种实践性技能。」我们平时所说的洞察力、判断力、创造力、思维能力等,其实可以通过不断模仿和实践解题技巧来提高。

具体内容:

波利亚告诉我们,应该从题目的叙述开始,让自己熟悉题目并且理解题目。

第一种方法,叫做类比。核心的策略是,找一种我们熟悉的东西,它的特性和题目类似,这样,我们就能借助熟悉的东西去理解陌生的东西。

第二种方法是借助图形。如果你翻一下波利亚的著作,你会发现他有一个习惯,他在分析题目时,能不用公式就不用公式,可是只要能用图形,他就一定会画图。

第三种方法叫做分解和重组。

这个方法的核心策略,是像电影镜头一样,在整体和细节之间切换观察。

为什么要切换观察呢?因为如果你深入到细节中去,就有可能在细节中迷失自我。它们会阻碍你对要点投入足够的注意力,甚至会使你全然看不到要点。

但困难在于,我们事先不可能知道哪些细节最终会是必要的,那些又不会是。如果全不看细节,只考虑整体,又未必能深入理解题目。

所以,聪明的做法是,切换视角。先整体观察题目,然后观察细节,一个细节打动了你,于是你对它集中注意力,接下来再观察另一个细节,每个细节都观察到之后,再回到整体。

最后是把不同的细节组合起来,看看能不能有新的收获。

小结一下三个方法的共性,回过头来看,三种方法的背后,其实是一个基本策略,那就是尽可能清晰、生动地使整个题目形象化。如果能把抽象的概念变得形象化,就说明你已经成功地理解题目了。

抓住未知量,你就抓住了问题的关键。类比、画图,还有分解和重组,这些方法能帮助你更好地理解题目。

接下来遇到的问题就是,怎样找到解题思路?

波利亚也给我们提供了两种非常好用的工具。

第一个工具,叫做「特例」。当没有思路的时候,不妨用特例帮助自己思考。

可以先考虑一个特例,这样就能使得问题的条件确定下来,帮助我们探一探问题的内部结构。

第二个工具,叫做「逆向思维」。正面思考感觉茫然的时候,不妨尝试反过来推导。

很多人推崇逆向思维的力量,比如查理·芒格在《穷查理宝典》当中有一句名言:「反过来想,永远要反过来想。

举例:那怎样能有1升的水呢?再看一眼题目,大桶9升,小桶4升,9升减4升再减4升,正好就是1升。

你看,这道题就解出来了,咱们再把逆向思维转化为正向操作, 第一步,大桶装满9升,倒进小桶4升,然后把小桶里的水倒掉。第二步,把大桶里的水倒进小桶4升,然后把小桶里的水倒掉。第三步,把大桶里剩下的1升倒进小桶,再把大桶装满水。第四步,用大桶的水把小桶倒满,大桶里就剩下6升。

如果把迷宫画到纸上,这件事儿就能变得简单,因为你可以倒过来思考,从出口出发,寻找去入口的路线,这种逆向思维,往往就能简单很多。

一个错误的思路,并不代表没有价值,根本没有想法才是真正糟糕的。

还有一个工具,也能成为你获得灵感的催化剂,就是刚才我们在聊如何理解题目时,一直强调的,盯住未知量。

为什么呢?因为盯住未知量,你在解题的过程中,就能时刻记住你的目标到底是什么。莱布尼茨曾经有一个比喻,人的解题思考过程,就是一个晃筛子的过程,脑袋里边的东西都抖落出来,然后正在搜索的注意力就会抓住一切细微的、与问题有关的东西。

而你的注意力怎么能抓住和题目相关的东西呢?靠的就是未知量。未知量就像是一张通缉令,让你的注意力成为敏锐的侦探,可以从无数个念头中抓出来那个嫌疑人,否则,即使关键的东西抖落出来了,也可能没注意到。

如果是物理问题,或者是几何问题,有一个非常好用的工具,叫「量纲检验」。

什么叫量纲呢?就是长度、面积、重量的那个标准单位。很多物理问题或几何问题,我们求出来的往往是个表达式,之后怎么样快速检验呢?就把表达式每一项的单位代入进去,看看两边是不是相等。

比如用我们都知道的,长方体的体积公式,V=abc,左边是体积,单位是立方厘米;右边a、b、c分别是长、宽、高,单位都是厘米,乘在一起就是立方厘米。这么一对照,两边都是立方厘米,这个答案就比较靠谱。

另一种验证的工具,叫做「特殊化」。就是你求出了一个公式,那么我们可以用具体的值来验证。

比如还是长方体的体积公式,我们就可以用一个具体情况,长宽高都是1厘米,我们知道体积就是1立方厘米。代入到公式中,算出来果然也是1立方厘米。

所以,量纲检验和特殊化,其实可以组合起来用,如果你的解答有问题,用这两种检验方式,往往就能快速发现错误。

最后还有非常重要的一步,那就是回顾。是为了找到可复用的方法。

简单地将题目解出来,只能得到很少的东西,如果解不出来,看一眼答案,觉得自己恍然大悟了,那只能得到更少的东西。如果没有反思,就不能抽取出一般性的东西应用到更多的题目上去。

波利亚列出了一张清单,帮助你从不同的方面考虑你的解答,并寻找与你过去所获知识之间的联系。

你可以考察解答中那些比较冗长的部分,看看能不能使它们变得简短些;

你可以重新审视题目,看自己能不能一眼就能看出整个解答;

你可以对你的解答进行改进,看看能不能让它更直观;

你可以重新审视题目,看看是哪个细节让你产生了关键的思路;

你还可以仔细检查你的结论,看看这个结论能不能应用于别的题目。

在回顾的过程中,你也许能找到一个更好的新解答,找出新的有趣的事实。就算没有,如果你养成了以这种方式回顾和仔细检查你的解答的习惯,你将会获得一些条理分明、随时可以使用的知识,并且将会提高你的解题能力。

在回顾的过程中,你也许能找到一个更好的新解答,找出新的有趣的事实。就算没有,如果你养成了以这种方式回顾和仔细检查你的解答的习惯,你将会获得一些条理分明、随时可以使用的知识,并且将会提高你的解题能力。

这本书中有一句名言:「方法和手段有什么不同?方法就是你用了两次的手段。」

只有经过主动的回顾,你才可以把解题过程中用到的有创造性的手段,变成未来可以重复使用的方法。

总结一下,我们重点谈到了解决问题时,四个关键的步骤:

第一步,熟悉题目并且理解题目。尤其要抓住未知量,因为抓住了未知量,就是锚定了你的目标。

第二步,了解已知数据和未知量之间有什么关系,寻找解题的思路,也就是为自己拟定一个方案。

其实在此之后还有一步,那就是执行方案,不过在解决数学问题的时候,我们往往卡在寻找思路上,一旦找对思路,执行方案就是水到渠成。

第三步,验证你得到的答案,确认它是否正确。

别忘了关键的第四步,回顾,只有经过主动的回顾,你才可以把解题过程中用到的有创造性的手段,变成未来可以重复使用的方法。

其实这本书中除了介绍这些方法,波利亚对于另一个话题的讨论,也让我感觉非常惊讶。

那就是解决问题的决心。

波利亚说,把解题作为是纯粹的「智力活动」是错误的,决心和情绪也起了很重要的作用。要解决一个重大的科学问题,只有靠毅力才能坚持长年累月的艰苦工作,忍受痛苦的挫折。

我们总把突然而来的好念头看成一种灵感,一种上帝的恩赐。你必须努力工作,或者至少有强烈的愿望求解题目,才配得到这种恩赐。即使是所谓灵感,也来源于勤奋和专注。

那么这种决心和意志力是与生俱来的吗?一部分是,另一部分,其实可以靠科学的方法来补充。聪明的解题者,会规划自己的展望,不止追求最终的成功,还会在中间设置小的节点,每完成一个节点,就获得了一次小的成功,这个时候,就更有决心继续下去。

你看,面对难题,不论是一开始拥有靠谱的方法,还是拥有巨大的决心,解决问题的高手,总能是让决心和方法能成为一个闭环:用决心推动方法,靠方法获得突破,借助突破坚定自己的决心。这才是解题高手的终极心法。

个人感悟:从新的角度看看有趣的数学。

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