向量法求两直线的夹角：2015年理数全国卷A题18

四面体：2015年理数全国卷A题18

分值：12 分

如图，四边形 为菱形，， 是平面 同一侧的两点， 平面 ，平面,

（Ⅰ）证明∶平面 平面 ;

（Ⅱ）求直线 与直线 所成角的余弦值.

2015年理数全国卷A

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【解答问题Ⅰ】

连接 , 并记交点为 .

∵ 四边形 为菱形，，

∴ 是正三角形， 相互垂直且平分；

∵ 平面 ，平面,

平面

∴ ,

.

∵ ,

∴

∴

又∵ ,

∴ 是等腰直角三角形；

是其中线， 也是等腰直角三角形.

令 , 则 , ,

.

根据勾股定理求得：

∵ ， ∴

∵ , ,

∴

∴

∴ .

∵ ,

∴ 平面 ,

又∵ 平面 ,

∴ 平面 平面 . 证明完毕.

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【解答问题Ⅱ】

以点 为原点建立直角坐标系，并以 为 轴. 以 方向为 轴的正方向.

令 , 根据前节的推算，相关各点坐标如下：

,

结论：直线 与直线 所成角的余弦值为 .

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【提炼与提高】

欲证面面垂直，先证线面垂直。问题Ⅰ的基本证明思路就是如此。由线线垂直推出线面垂直，再由线面垂直推出面面垂直。

利用平面几何的知识推出线线垂直关系 ，是本题的关键。所以说：平面几何一定要过关。

问题2求线线角的余弦，属于很适合用空间向量的典型问题. 应用几何分析得出的结论，不是什么难事.

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