USACO 2023年12月比赛 铜组题解

USACO 12月比赛 铜组题解

基本上都是思维题，同学们开动自己的小脑瓜嗷~

比赛链接：http://usaco.org/

第一题：CANDY CANE FEAST

标签：思维、枚举、模拟
题意：给定$n$头牛的初始高度和$m$个糖果棒的初始高度，每个糖果棒都要$n$头牛轮流吃一波过去，牛吃了多长的糖果棒，就会长多高。但是每头牛只能吃到小于等于它高度并且有的糖果棒。求最后这$m$个糖果棒都吃完，这$n$头牛的高度。($1<=n,m<=2\ast 10^5$，牛和糖果棒高度范围：$[1,10^9]$)
先通过样例，再深入理解一下题意。
给定 $3$ 头牛，每头牛的初始高度分别为$3、2、5$；给定$2$个糖果棒，每个糖果棒的初始高度分别为$6、1$。
第一个糖果棒情况：一开始糖果棒高度$[1,6]$，第一头牛（高度为$3$）吃掉$[1,3]$部分，还剩$[4,6]$部分；第二头牛高度（高度为$2$）太低，吃不到；第三头牛（高度为$5$）能吃到糖果棒的$[4,5]$部分。
牛的高度变成$6、2、7$。
第二个糖果棒情况：第一头牛（高度为$6$），能把第二个糖果棒 $[1,1]$全部吃掉，增长高度$1$。
牛的高度变成$7、2、7$
题解：把题意理解之后，其实就是一个模拟题。可以维护一下糖果棒目前可以吃的高度区间$[l,r]$。当牛的高度完全大于等于$r$（即能够把糖果棒全部吃掉），那就把目前糖果棒能吃的部分全部加到牛的高度上；如果牛的高度是在$[l,r]$中间部分的，那么牛能吃的部分就是牛的高度$a[j]$减去$l$。注意在枚举的过程中记得维护一下$l$。（$r$一开始就定好了，没必要去更改）
代码：

#include 
using namespace std;

typedef long long ll;
ll n, m, l, r, k, a[200005];

int main() {
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        cin >> a[i];
    for (int i = 1; i <= m; i++) {
        cin >> r;
        l = 1;
        for (int j = 1; j <= n; j++) {
            if (a[j] >= r) {
                a[j] += r - l + 1;
                break;
            }
            else if (a[j] >= l) {
                k = a[j];
                a[j] += a[j] - l + 1;
                l = k + 1;
            }
        }
    }
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        cout << a[i] << endl;
    return 0;
}

第二题：COWNTACT TRACING 2

标签：思维、枚举、模拟
题意：给定长度为$n$的字符串（只包含$01$），求用初始最少的$1$，每天每一个$1$都会把相邻的两个位置都变成$1$，经过若干天后形成给定的这个字符串。（$1<=n<=3\ast 10^5$）
我们通过样例解释一下，比如要形成长度为$5$的$11111$字符串。
可以一开始在第三个位置放$00100$，第一天：$01110$，第二天：$11111$，所以初始只要一个$1$。
题解：比较容易想到我们需要把连续的$1$的个数拆出来。比如$00011101101111001$=> $3241$
首先我们去思考每一团连续的$1$要形成的最多天数是多少？（为什么是最多天数呢，因为天数越多，初始的$1$就越少）不好想的话，那我们举几个例子：
$1$：$0$天
$11$：$0$天（这里可能有些人会有疑惑，其实中间部分的和左右两边的情况 我们到时候要分类讨论的，这边姑且先考虑中间部分的）
$111$：$1$天
$1111$：$1$天
$11111$：$2$天
$111111$：$2$天
$......$
往下不断推下去，能推出最多天数其实是不是就是1的个数减去$1$，再除以$2$。（其实就是从最中间往外扩散的过程）

这是每一团连续的$1$要形成的最多天数，那么我们要让每一团的符合，得去拿每一团的最多天数中的最小值（$minDay$），让每一团连续的$1$都满足天数要求。
因为每一团要让天数往下降，很简单，只要让初始的$1$多一点就好了。
在求出$minDay$的基础上，我们接下来就是去求每一团在这样一个天数下，需要初始的$1$的个数。

举个例子：比如$minDay=2$，某一团连续的$1$是$1111111$，那么我们初始的$1$应该是$0010100$
这道题还有个需要注意的点是：最左（$1$）和最右（$n$）连续的$1$具有特殊性，最大天数能到达这一团的$1$的个数减一。因为如果最左设置$1$，往左扩散是会碰墙，过不去的；最右同理。
代码：

#include 
using namespace std;

vector<int> v;

int main() {
    int n;
    string s;
    cin >> n >> s;

    int pre = 0, suf = n - 1, cnt = 0, minDay = n + 1;
    while (s[pre] == '1') pre++;
    while (suf > pre && s[suf] == '1') suf--;

    if (pre != 0) {
        v.push_back(pre);
        minDay = min(minDay, pre - 1);
    }
    if (suf != n - 1) {
        v.push_back(n - 1 - suf);
        minDay = min(minDay, n - 2 - suf);
    }

    for (int i = pre; i <= suf; i++) {
        if (s[i] == '1') cnt++;
        else if (s[i] == '0') {
            if (cnt > 0) {
                v.push_back(cnt);
                minDay = min(minDay, (cnt - 1) / 2);
            }
            cnt = 0;
        }
    }
    if (cnt > 0) {
        v.push_back(cnt);
        minDay = min(minDay, (cnt - 1) / 2);
    }

    int ans = 0;
    for (int i = 0; i < v.size(); i++) {
        int k = v[i] / (minDay * 2 + 1);
        if (v[i] % (minDay * 2 + 1)) k++;
        ans += k;
    }
    cout << ans;
    return 0;
}

第三题：FARMER JOHN ACTUALLY FARMS

标签：思维、数学
题意：给定$n$个数字初始值$h_i$，第$i$个数字每天会增加$a_i$，再给出包含$0$到$n-1$之间所有数字的数组$t_i$，求满足 对于第 $i$ 个数字，正好有 $t_i$ 个比它更大的数字 的最少天数。

题解：题目要求对于对于第$i$个数字，正好有 $t_i$ 个比它更大的数字，那么我们肯定得从最小（$t_i=0$）的数开始，然后第二小的数（$t_i=1$）…，在这个过程中，不断地让相邻的两个数看看能不能在初始值为$h_i$，每天增量为$a_i$的情况下满足后一个数大于前一个数，在这个过程中不断地去求这个天数的最大值。

所以一开始我们得去做个映射：第$t_i$大的数是输入的第$i$个数。
然后在第$1$小的数、第$2$小的数、第$3$小的数… 的过程中，看看两个数是否不符合当前数大于前一个数不符合，且在当前数增量大于前一个数增量的情况下，去求需要增量增加的天数，因为需要满足所有的，所以维护这边天数的最大值。

需要注意的是，想让结果是大于的情况，可以给被除数（数字初始值只差$+1$），再进行处理。
最后再判定一下，修改完之后的序列是否满足题目中要求的顺序，不满足输出$-1$。
代码：

#include 
using namespace std;

typedef long long ll;
const ll N = 2e5 + 10;
ll h[N], a[N], t[N], f[N];

int main() {
    ll T, n;
    cin >> T;
    while (T--) {
        cin >> n;
        for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> h[i];
        for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> a[i];
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            cin >> t[i];
            f[t[i]] = i;
        }
        ll ans = 0;
        for (int i = 1; i < n; i++) {
            if (a[f[i-1]] > a[f[i]] && h[f[i-1]] < h[f[i]]) {
                ll k = (h[f[i]] - h[f[i-1]] + 1) / (a[f[i - 1]] - a[f[i]]);
                if ((h[f[i]] - h[f[i-1]] + 1) % (a[f[i - 1]] - a[f[i]])) k++;
                ans = max(ans, k);
            }
        }
        for (int i = 1; i <= n; i++) h[i] += ans * a[i];
        bool flag = 1;
        for (int i = 1; i < n; i++) {
            if (h[f[i-1]] <= h[f[i]]) flag = 0;
        }
        if (flag) cout << ans << endl;
        else cout << -1 << endl;
    }
    return 0;
}