上海计算机学会11月月赛 丙组题解

上海计算机学会11月月赛 丙组题解

本次比赛涉及算法：数学、排列组合、高精度除法、思维、排序。本次丙组的比赛主要涉及数学比较多，还有一道高精度除法简化版。

比赛链接：https://iai.sh.cn/contest/57

第一题：T1刷题

标签：数学
题意：给定题目总量$n$和每天完成的题目数量$m$，求需要的天数。
题解：简单数学，不能整除的话多一天。
代码：

#include 
using namespace std;

int main() {
    int n, m;
    cin >> n >> m;
    if (n % m) cout << n / m + 1;
    else cout << n / m;
    return 0;
}

第二题：T2染色

标签：数学、组合数学、乘法原理
题意：给定$n$个点和每个点能染色的范围：$1$到$a_i$之间的整数，求最终染色方案，答案对$10^9+7$取模。
题解：比如样例中的$4、7、2$，染色方案：$2\ast (4-1)\ast (7-2)=30$。我们先给序列从小到大排下序，排完序之后，比如样例：$2、4、7$，第一个点有$2$种染色选择（$1、2$）；第二个点正常可以有$4$种染色方案，但是第一个点占用了一种颜色，染色选择减一；同理，对于第三个点来说，被前两个点占用了两种颜色，染色选择减二，依此类推，通过乘法原理 最终就能求解了。过程中，记得通过同余定理对模数取模。
代码：

#include 
using namespace std;

typedef long long ll;
const ll mod = 1e9 + 7;
ll a[300005], ans = 1;

int main() {
    ll n;
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        cin >> a[i];
    }
    sort(a + 1, a + 1 + n);

    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        ans = ans * (a[i] - i + 1) % mod;
    }
    cout << ans << endl;
    return 0;
}

第三题：T3数根（二）

标签：高精度除法
题意：给定一个正整数$n$，定义一个数字的根为它的十进制数字之和，例如$1234$的数根为$1+2+3+4$，请判定$n$的数根能否整除$n$。（$1<=n<=10^{100000}$）
题解：高精度数以字符串形式输入，先求数根，最坏情况$99999$位都是$9$，显然数根是个低精度数。所以题目就转换成高精度数除于低精度数题目，最终看下取模的余数是否为$0$，判断下能否整除即可。
代码：

#include 
using namespace std;

int main() {
    int m = 0, k = 0;
    string s;
    cin >> s;
    for (int i = 0; i < s.size(); i++) {
        m += (s[i] - '0');
    }

    for (int i = 0; i < s.size(); i++) {
        k = 10 * k + (s[i] - '0');
        k %= m;
    }

    if (k > 0) cout << "No";
    else cout << "Yes";
    return 0;
}

第四题：T4攻击的车

标签：数学、思维、排序
题意：给定$r$行$c$列的国际棋盘。棋盘上有$n$只车，第$i$只车在第$x_i$行，第$y_i$列，每只车能攻击同一行和同一列（包括自身），求这些车能够攻击的方格总数。
题解：洛谷 P3913 车的攻击（原题），数据比较大，直接模拟格子肯定不可行。我们先把车的坐标输入，分别排序，看看去重后 实际被攻击到的行数和列数有多少。如果正着直接用 实际被攻击的行数和实际被攻击到的列数乘积，发现会有重叠的部分，所以可以考虑换个思路，用总的格子数减去未被攻击的行数和列数的乘积（即不被攻击的格子数）。
代码：

#include 
using namespace std;

typedef long long ll;
ll x[1000005], y[1000005];

int main() {
    ll r, c, n;
    cin >> r >> c >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        cin >> x[i] >> y[i];
    }

    sort(x + 1, x + 1 + n);
    sort(y + 1, y + 1 + n);

    ll c1 = 1, c2 = 1;
    for (int i = 2; i <= n; i++) {
        if (x[i] != x[i - 1]) c1++;
        if (y[i] != y[i - 1]) c2++;
    }

    // 总的格子数减去未被攻击的格子数
    cout << r * c - (r - c1) * (c - c2);
    return 0;
}

第五题：T5推箱子

标签：排序、数学、思维
题意：给定$t$组数据，每组数据给定长度为$n$的字符串，$@$表示箱子，$\_$表示空格，求把箱子都推到一起（即两两箱子之间没有空格），最少移动次数。
题解：我们稍微把题意变下，给定$n$个点在$x$轴上的的坐标，求把这些点移到同一个位置的最少移动次数。
举个例子（坐标）：$35810$

如果把这些点都移到 $2$的坐标，移动次数为：$1+3+6+8=18$
如果把这些点都移到 $3$的坐标，移动次数为：$0+2+5+7=14$
如果把这些点都移到 $5$的坐标，移动次数为：$2+0+3+5=10$
如果把这些点都移到 $6$的坐标，移动次数为：$3+1+2+4=10$
如果把这些点都移到 $8$的坐标，移动次数为：$5+3+0+2=10$
会发现把点移到这些点中最中间那个点，移动次数最少，推箱子问题同理，只不过得去考虑每个箱子会占一个位置，在中间位置（$k$）左边的第一个箱子推到$k-1$的位置，其他的同理，即对于第 $i$ 个箱子来说，需要移动的距离为 a[k] - a[i] - (k-i)（i$i$个箱子，同理，需要移动的距离为 a[i] - a[k] - (i-k)（i>k）。

代码：

#include 
using namespace std;

typedef long long ll;
string s;
ll a[1000005];

int main() {
    ll t, n;
    cin >> t;
    while (t--) {
        cin >> n >> s;
        ll c = 0, ans = 0;
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            if (s[i] == '@') a[++c] = i;
        }
        sort(a + 1, a + 1 + c);
        ll k = (c + 1) / 2;
        for (int i = 1; i <= c; i++) {
            if (i < k) ans += (a[k] - a[i] - (k - i));
            else ans += (a[i] - a[k] - (i - k));
        }
        cout << ans << endl;
    }
    return 0;
}