机器学习 | 多层感知机MLP

机器学习 | 多层感知机MLP

1. 实验目的

自行构造一个多层感知机，完成对某种类型的样本数据的分类（如图像、文本等），也可以对人工自行构造的二维平面超过3类数据点（或者其它标准数据集）进行分类。

2. 实验内容

1. 能给出与线性分类器（自行实现）作对比，并分析原因。

2. 用不同数据量，不同超参数，比较实验效果。

3. 不许用现成的平台，例如Pytorch，Tensorflow的自动微分工具。

4. 实现实验结果的可视化。

3. 实验环境

• Windows11; Anaconda+python3.11; VS Code

4. 实验过程、结果及分析（包括代码截图、运行结果截图及必要的理论支撑等）

4.1 算法理论支撑

4.1.1 神经元模型

如图1所示，在这个模型中,神经元接收到来自$n$个其他神经元传递过来的输入信号，这些输入信号通过带权重的连接(connection)进行传递,神经元接收到的总输入值将与神经元的阈值（偏置）进行比较,然后通过“激活函数”(activation function) 处理以产生神经元的输出。

理想中的激活函数是阶跃函数$sgn(\bullet )$，它将输入值映射为输出值“0”或“1”，显然“1”对应于神经元兴奋，“0”对应于神经元抑制。然而，阶跃函数具有不连续、不光滑等不太好的性质，实际常用Sigmoid、ReLU等函数作为激活函数

把许多个这样的神经元按一定的层次结构连接起来,就得到了神经网络。

4.1.2 多层感知机模型

多层感知机(Multilayer Perceptron, MLP)是一种前向结构的人工神经网络，映射一组输入向量到一组输出向量，MLP可以被看作是一个有向图，由多个的节点层所组成，每一层都全连接到下一层，除了输入节点，每个节点都是一个带有非线性激活函数的神经元。MLP网络结构包含输入层、输出层及多个隐藏层，其中输入层神经元接收外界输入，隐藏层与输出层神经元对信号进行加工，最终结果由输出层神经元输出。3层感知机的神经网络图如下所示：

一个MLP可以视为包含了许多参数的数学模型，这个模型是若干个函数 $y_j=f({\sum }_i{w}_i{b}_i-{\theta }_i)$ 相互(嵌套)代入得到的。而对于给定由$d$个属性描述，输出为$l$维实值向量的训练集$D=\left\{{(x}_1,y_1\right),{(x}_2,y_2),\dots ,{(x}_m,y_m)),x\in {\mathbb{R}}^d,y\in {\mathbb{R}}^l$，则隐藏层第$h$个神经元接收到的输入为${\alpha }_h={\sum }_{i=1}^d{v}_{ih}{x}_i$，输出层第$j$个神经元接收到的输入为${\alpha }_h={\sum }_{h=1}^q{w}_{hj}{b}_h$。假设神经元激活函数为$\sigma (\bullet )$。

模型训练主要包括前馈传播和反向传播两个步骤，前馈传播负责计算模型的预测值，而反向传播负责计算梯度并更新模型的参数，降低损失函数，以便在训练中不断改进模型的性能。

具体而言，前馈传播是神经网络中的正向计算过程，它从输入层开始，沿着网络的层级顺序将数据传递到输出层，从而计算模型的预测值，但此过程并不涉及权重和偏差的更新，即计算

$$y_k=g\left\{\sum _{j=1}^m{w}_{kj}^{(s)}\cdots \left[a\left(\sum _{i=1}^n{w}_{ji}^{(1)}{x}_i+b_j^{(1)}\right)\right]\cdots +b_k^{(s)}\right\},k=1,2,\cdots ,l$$

反向传播则是使用前馈传播计算模型的输出，并将其与实际目标进行比较，计算损失（误差）。

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ALGORITHM 1 Backpropagation(反向传播算法)

1. input $f(x;\theta )\leftarrow$神经网络，$\theta \leftarrow$参数向量，$(x^{{}^{\prime }},y^{{}^{\prime }})\leftarrow$样本，$\eta \leftarrow$学习率；
2. for $t=1,2,\dots ,s$ do # 正向传播
3. $h^{(0)}=x^{{}^{\prime }};h^{(t)}=a\left(W^{(t)}{h}^{(t-1)}+b^{(t)}\right)$（$a(\bullet )$为激活函数）
4. for $t=s,s-1,\dots ,1$ do # 反向传播
5. ${\delta }^{(s)}=h^{(s)}-y^{{}^{\prime }};{\nabla }_{W^{(t)}}L={\delta }^{(t)}\cdot h^{(t-1{)}^T},{\nabla }_{b^{(t)}}L={\delta }^{(t)}$
6. $W_{new}^{(t)}\leftarrow W^{(t)}-\eta {\nabla }_{W^{(t)}L},b_{new}^{(t)}\leftarrow b^{(t)}-\eta {\nabla }_{b^{(t)}L}$
7. if $t>1$ do: ${\delta }^{(t-1)}=\frac{\partial a}{\partial z_j^{(t-1)}}⨀\left({W^{(t)}}^T\bullet {\delta }^{(t)}\right)$
8. return $\theta$

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基于梯度下降GD或随机梯度下降SGD的学习算法的核心是针对给定样本，计算损失函数对神经网络所有参数的梯度$\frac{\partial L}{\partial \theta }$，并以此更新所有参数$\theta$。考虑一个$s$层神经网络，其中第$t$层的神经元定义为：

$$h_j^{(t)}=a\left(z_j^{(t)}\right),z_j^{(t)}=\sum _{i=1}^n{w}_{ji}^{(t)}{h}_i^{(t-1)}+b_j^{(t)},j=1,2,\cdots ,m$$

损失函数对第$t$层的权重和偏置的梯度分别为$\frac{\partial L}{\partial w_{ji}^{(t)}}$和$\frac{\partial L}{\partial b_j^{(t)}}$。根据链式求导规则，可以展开为：

$$\frac{\partial L}{\partial w_{ji}^{(t)}}=\frac{\partial L}{\partial z_j^{(t)}}\frac{\partial z_j^{(t)}}{\partial w_{ji}^{(t)}},\frac{\partial L}{\partial b_j^{(t)}}=\frac{\partial L}{\partial z_j^{(t)}}\frac{\partial z_j^{(t)}}{\partial b_j^{(t)}}$$

考虑损失函数对第$t$层的净输入的梯度${\delta }_j^{(t)}=\frac{\partial L}{\partial z_j^{(t)}},j=1,2,\cdots ,m$，则上式可写成：

$$\frac{\partial L}{\partial w_{ji}^{(t)}}={\delta }_j^{(t)}{h}_i^{(t-1)},\frac{\partial L}{\partial b_j^{(t)}}={\delta }_j^{(t)}$$

而对于第$t$层的${\delta }_j^{(t)}$，可展开为

$${\delta }_j^{(t)}=\frac{\partial L}{\partial z_j^{(t)}}=\sum _{k=1}^l\frac{\partial L}{\partial z_k^{(t+1)}}\frac{\partial z_k^{(t+1)}}{\partial z_j^{(t)}},j=1,2,\cdots ,m$$

求解得到${\delta }_j^{(t)}=\frac{da}{d{z}_j^{(t)}}{\sum }_{k=1}^l{w}_{kj}^{(t+1)}{\delta }_k^{(t+1)}$。其中，$\frac{da}{d{z}_j^{(t)}}$为第$t$层激活函数关于$z_j^{(t)}$的导数。也就是说可以根据$t+1$层的${\delta }_k^{(t+1)}$计算${\delta }_j^{(t)}$。

多分类问题中，输出层由$l$个输出表示$l$个类别的概率。损失函数是交叉熵损失$-{\sum }_{k=1}^l{y}_k\log h_k^{(s)}$，激活函数是Softmax函数$g(z)=\frac{e^z}{{\sum }_{z^{{}^{\prime }}}^{}{e}^{z^{{}^{\prime }}}}$，此时误差是

$${\delta }_k^{(s)}=h_k^{(s)}-y_k,k=1,2,\cdots ,l$$

而后从输出层开始基于链式法则计算损失对每个权重和偏差的梯度，使用Adam、SGD等优化算法来更新网络中的权重和偏差，以减小损失函数的值。

通过反复迭代前馈传播和反向传播过程，多层感知机可以逐渐调整其权重和偏差，从而提高对输入数据的表示能力和泛化能力。

4.2 实验设计

4.2.1 数据处理

读入数据，标签采用独热编码（$1ofK$）。

4.2.2 权重初始化

使用np.random.randn方法随机初始化神经元之间的连接矩阵$w$和偏置$b$，同时初始化各层神经元为$h^{(i)}$以保存中间结果（包含输入输出层）

4.2.3 前向传播

将输入$w$赋值给$h^{(0)}$，随后逐层计算$a\left(W^{(t)}{h}^{(t-1)}+b^{(t)}\right)$，使用函数类保存中间结果，同时返回最终输出层$h^{(s)}$。实验激活函数采用sigmoid和softmax函数。

4.2. 反向传播

给定最终标签计算当前预测值的损失和梯度${\delta }^{(s)}=h^{(s)}-y^{{}^{\prime }}$。随后按$W_{new}^{(t)}\leftarrow W^{(t)}-\eta {\nabla }_{W^{(t)}L},b_{new}^{(t)}\leftarrow b^{(t)}-\eta {\nabla }_{b^{(t)}L},{\delta }^{(t-1)}=\frac{\partial a}{\partial z_j^{(t-1)}}⨀\left({W^{(t)}}^T\bullet {\delta }^{(t)}\right)$依层记录梯度和参数并返回。

4.2.5 随机梯度下降

使用random.shuffle方法打乱数据，每次取数据中的前batch_size组使用前向传播和反向传播计算更新梯度和偏置，随后取算数平均对参数进行更新。

随后设置迭代次数，重复上述步骤，即可训练得到可以分类的神经网络。

4.2.6 Softmax回归

使用和逻辑回归相似的Softmax回归构造线性分类器，和逻辑回归唯一不同的地方在于，由于此问题中对应的是多分类问题，因此Softmax回归最后改用Softmax()替代Sigmoid()进行概率的选择。其余交叉熵损失函数及梯度下降求导的式子完全一致。

4.3 实验结果及分析

4.3.1 实验结果

在本次实验中，使用神经元数目分别为$784,100,10$的三层感知机，采用Sigmoid函数作为激活函数和Softmax函数对MNIST数据集进行分类。

使用交叉熵损失函数和SGD优化器，将模型输入通道根据数据集设为1，并设置训练超参数epoch为100，batch size为256（相当于只用了25600组训练数据），学习率learning rate为0.1。训练过程中损失函数loss的值和在测试集上的准确率变化如下图所示。

实验发现，随训练过程的进行，损失函数不断降低，在测试集上准确率逐渐升高，最终测试正确率最高能够达到约92%。损失函数和测试准确率在训练最后阶段呈现波动态，可能原因是在局部最优点附近振荡。

5. 实验结论

多层感知机模型是矩阵与向量的乘积的非线性变换的多次重复，其核心在与引入了非线性因素，能够学习和捕捉复杂的非线性关系，其基本结构较为简单，其具有较强的表达能力，可适应图像分类、识别等多种人工智能任务。

Softmax回归相当于2层（只有输入输出层）的多层感知机，没有引入非线性因素，在一定程度上对数据更为敏感，且对非线性问题表达能力较弱。

选择合适的学习率能够减少模型训练的时间，但梯度下降法较难收敛，提高训练轮次可能会提供模型的能力。同时，合适的权重初始化也能减少模型的训练时间和提高模型的训练效果。

但是，单纯加深模型深度没有特别大的意义，除了训练时间会增加，还可能会出现梯度消失或者梯度爆炸等问题，可以考虑引入残差等结构。

6. 参考文献

[1] 李航. 统计学习方法[M]. 清华大学出版社, 2012.

[2] 周志华. 机器学习[M]. 清华大学出版社, 2016.