矩阵

一.矩阵概念的一些背景

略

矩阵相等的概念：同型且对应值相等。

• 单位矩阵
• 零矩阵
• 方正
• 上（下）三角矩阵
• 对角矩阵
• 奇异矩阵
• 正交矩阵
• 伴随矩阵

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二.矩阵的运算

1.加法

• 定义
• 结合律、交换律、负矩阵、零矩阵
• r(A+B)<=r(A)+r(B)

2.乘法

• 定义：略，要求第一个矩阵的列数与第二个矩阵的行数相等
• 适合结合律、不适合交换律（交换不一定满足列行相等，若满足得到的矩阵不一定维数相等，维数相等，矩阵内值不一定相等。），适合分配律
• 单位矩阵：AE=EA=A，单位矩阵可以与所有矩阵做交换乘法，kE数量矩阵亦可。
• 方幂:,,方幂只能对方幂来定义。与不相等，因为矩阵乘法不适用交换律。
• AB=AC,不能得出A=C,因为AB=0时，A,B可能都不是0，所以A(B-C)=0,B-C也可能不等于0.

3.数量乘法

• 定义
• 满足：，，，，。

4.转置

• 定义
• 满足：(A')'=A,(A+B)'=A'+B',(AB)'=B'A',

5.矩阵多项式：

• 设A为n阶矩阵，令，称f(A)为A的矩阵多项式。矩阵多项式也可以进行分解，如

  。

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三.矩阵乘积的行列式与秩

1.几个计算

• 如果A可逆，

2.秩

• A是退化矩阵，|A|=0,r(A)
• r(AB)<=min{r(A),r(B)}

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四.矩阵的逆

1.定义

• n级方阵A称为可逆的，如果存在n级方阵B,使得AB=BA=E
• 只有方阵才有逆矩阵
• 逆矩阵是唯一的

2.逆矩阵存在的充分必要条件

• n级矩阵A可逆的充分必要条件是A是非退化矩阵|A|!=0

3.逆矩阵的求法

• 定义法

• 伴随矩阵法：,其中A是非退化的

  • 推论：
  • 推论：

• 初等矩阵法：(A:E)经过初等行变换，变成（E:）

• 定理： A是一个sxn的矩阵，P是sxs矩阵，Q是nxn矩阵，那么r(A)=r(PA)=r(AQ)

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五.矩阵的分块

1.分块矩阵的乘法

• 略

2.几个特殊矩阵的逆

• ,,|D|=|A||B|
• ,D=|A||B|
• 准对角矩阵的逆，与乘法:略

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六.初等矩阵

1.定义

• 单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵
• 三类略

2.定理

• 一个sxn的矩阵A作初等行变换相当于在A的左侧乘上对应的sxs初等矩阵，对A作初等列变换相当于在A的右侧，乘以对应的nxn的初等矩阵

• 等价：

  • 矩阵A与B等价，如果B可以由A经过一系列初等变换得到，等价具有自反向，对称性与传递性。

  • 矩阵A与B等价的充分必要条件是，存在初等矩阵,使得，即存在s级可逆矩阵P与n级可逆矩阵Q,使得

  • n级矩阵A可逆的充分必要条件是存在一系列初等矩阵，使得,可逆矩阵总可以通过一系列初等变化化成单位矩阵。

• 任何一个sxn矩阵A都与一个形式为矩阵等价，它称为矩阵的标准型，主对角线上1的个数等于矩阵A的秩。

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七.分块乘法的初等变换及应用举例

1.分块矩阵的使用技巧