高中奥数 2021-09-13

2021-09-13-01

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 平面几何 范端喜 邓博文 圆的初步 P044 习题01）

如图,设是圆上的点,过作圆的切线,为该切线上异于的点,又不是圆上的点,且线段交圆于两个不同的点.圆与相切于点,与圆相切于点,且与在直线的两侧.证明:的外心在的外接圆上.

图1

证明

设、分别是、的中点,是的外心,是圆与圆的内公切线,则是的中垂线.

图2

因,,则

.

于是,.

故.

因此,在的外接圆上.

2021-09-13-02

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 平面几何 范端喜 邓博文 圆的初步 P044 习题02）

在的外接圆上,、、的中点分别为、、,其中,,.分别交、于点、,分别交、于点、,和的中点分别为、.

(1)用的内角表示的三个内角;

(2)若为的外心,是与的交点,证明:、、、四点共圆.

(1)证明:如图,图为,所以.

图3

从而是的平分线,则、、三点共线,.

同理,.

因此,、、、四点共圆(显然、交于的内心).

进而,有,,.

(2)显然,直线过点,且,.

从而,.

所以,、、、四点共圆.