高中奥数 2021-09-26

2021-09-26-01

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 平面几何 范端喜 邓博文 圆幂与根轴 P052 例9）

如图,以为圆心的圆通过的两个顶点、,且与、两边分别相交于、两点,和的两外接圆交于、两点.证明:为直角.

图1

证明

设、的外接圆圆心分别为、,由题设推知、、三点不共线(否则和重合),而直线、、分别为这三个圆中两两圆的根轴,故它们必相交于一点,不妨设交于点.

由,知、、、四点共圆,故点对此圆的幂等于点对的幂.

设为的半径,则有

.(1)

又点对的幂等于点对的幂,即

.(2)

(2)-(1)得
.

故,.

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（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 平面几何 范端喜 邓博文 圆幂与根轴 P052 例10）

如图,设圆和圆相离,引它们的一条外公切线切圆于,切圆于,引它们的一条内公切线切圆于,切圆于,求证:直线和的交点在两圆的连心线上.

图2

证明

设和的交点为,与的交点为,连结,则,.

由于平分,平分,所以,且,即是分别以和为直径的两圆和的交点.

所以在圆和圆的根轴上.

下面证明是圆和圆的根轴.

因,所以是圆的切线,关于圆的幂是.

同理,是圆的切线,关于圆的幂是.

由于,所以是关于圆和的等幂点.

同理,是关于圆和圆的等幂点,故是圆和圆的根轴.

于是,在连心线上.