堆排序

堆排序:

堆排序是利用堆这种数据结构而设计的一种排序算法，堆排序是一种选择排序，它的最坏、最好、平均时间复杂度均为O(nlogn)，它也是不稳定排序。

堆

堆是具有以下性质的完全二叉树:

• 每个结点的值都大于或等于其左右孩子结点的值，称为大顶堆；
• 每个结点的值都小于或等于其左右孩子结点的值，称为小顶堆；

如图所示:

堆.png

同时，我们对堆中的结点按层进行编号，将这种逻辑结构映射到数组中如下:

image.png

该数组从逻辑上讲就是一个堆结构，我们用简单的公式描述:

大顶堆：arr[i] >= arr[2i+1] && arr[i] >= arr[2i+2]  

小顶堆：arr[i] <= arr[2i+1] && arr[i] <= arr[2i+2] 

堆排序基本思想及步骤

堆排序基本思想: 将待排序序列构造成一个大顶堆，此时，整个序列的最大值就是堆顶的根节点，将其与末尾元素进行交换，此时末尾就为最大值，然后将剩余的n-1个元素重新构造成一个堆，这样会得到n个元素的次小值。如此反复执行，便能得到一个有序序列了。

1. 构造初始堆。将给定无序序列构造成一个大顶堆(一般升序采用大顶堆，降序使用小顶堆)

• 假设给定无序序列结构如下

  
  
  image.png

• 此时我们从最后一个非叶子结点开始（叶结点自然不用调整，第一个非叶子结点arr.length/2-1=5/2-1=1，也就是下面的6结点），从左至右，从下至上进行调整。
  (备注:一棵树当中没有子结点（即度为0）的结点称为叶子结点)
  

  image.png

• 找到第二个非叶节点4，由于[4,9,8]中9元素最大，4和9交换。
  

  image.png

• 这时，交换导致了子根[4,5,6]结构混乱，继续调整，[4,5,6]中6最大，交换4和6。
  

  image.png

此时，我们就将一个无需序列构造成了一个大顶堆。

2.将堆顶元素与末尾元素进行交换，使末尾元素最大。然后继续调整堆，再将堆顶元素与末尾元素交换，得到第二大元素。如此反复进行交换、重建、交换。

• 将堆顶元素9和末尾元素4进行交换
  

  image.png

• 重新调整结构，使其继续满足堆定义

  
  
  image.png

• 再将堆顶元素8与末尾元素5进行交换，得到第二大元素8.
  

  image.png

• 后续过程，继续进行调整，交换，如此反复进行，最终使得整个序列有序

image.png

3.总结

再简单总结下堆排序的基本思路：

　　a.将无需序列构建成一个堆，根据升序降序需求选择大顶堆或小顶堆;

　　b.将堆顶元素与末尾元素交换，将最大元素"沉"到数组末端;

　　c.重新调整结构，使其满足堆定义，然后继续交换堆顶元素与当前末尾元素，反复执行调整+交换步骤，直到整个序列有序。

实现代码：

#import 


/**
 交互 数组 中 的两个 数字

 @param numArray 待排序 数组
 @param a 数组 下标
 @param b 数组 下标
 */

void heapSwap(int *numArray,int a ,int b){
    int temp= numArray[a];
    numArray[a] = numArray[b];
    numArray[b] = temp;
}

/**
 调整 堆

 @param numArray 待排序 数组
 @param nodeOrder 结点 序号
 @param arrayLength 数组 长度
 */
void heapAdjust(int *numArray, int nodeOrder, int arrayLength) {
    // 先 保存 当前 值
    int tmpValue = numArray[nodeOrder];
    //从nodeOrder结点的左子结点开始，也就是2i+1处开始 遍历调整 各个非叶子节点
    for(int tmpIndex = nodeOrder * 2 + 1; tmpIndex < arrayLength; tmpIndex = tmpIndex * 2 + 1){
        if (tmpIndex + 1 < arrayLength && numArray[tmpIndex] < numArray[tmpIndex + 1]) {
            tmpIndex ++;
        }
        
        //如果子节点大于父节点，将子节点值赋给父节点（不用进行交换）
        if (numArray[tmpIndex] > tmpValue) {
            numArray[nodeOrder] = numArray[tmpIndex];
            nodeOrder = tmpIndex;
        }
        else {
            break;
        }
    }
    numArray[nodeOrder] = tmpValue;
}

/**
 构建 堆

 @param numArray 待排序 数组
 @param arrayLength 数组 长度
 */
void buildHeap(int *numArray, int arrayLength) {
    if(numArray == NULL) {
        return;
    }
    
    if (arrayLength == 0) {
        return;
    }
    
    // 非叶子节点最大序号值为arrayLength/2
    for (int tmpIndex = arrayLength/2 - 1; tmpIndex >= 0; tmpIndex--) {
        heapAdjust(numArray, tmpIndex, arrayLength);
    }
}


/**
 堆排序

 @param numArray 待排序 数组
 @param arrayLength 数组 长度
 */
void heapSort (int *numArray, int arrayLength) {
    if(numArray == NULL) {
        return;
    }
    
    if (arrayLength == 0 ||
        arrayLength == 1) {
        return;
    }
    
    // 构建 堆
    buildHeap(numArray, arrayLength);
    
    for(int tmpIndex = arrayLength - 1; tmpIndex > 0; tmpIndex--) {

        heapSwap(numArray, 0, tmpIndex);
        
        heapAdjust(numArray, 0, tmpIndex);
    }
    
}



int main(int argc, const char * argv[]) {
    @autoreleasepool {
        int a[7]={0,16,20,3,11,17,8};
        heapSort(a, 7);
        for(int tmpIndex = 0 ;tmpIndex < 7; tmpIndex++) {
            printf("%d ", a[tmpIndex]);
        }
    }
    return 0;
}