动态规划Day07
70. 爬楼梯（进阶版）
卡码网：57. 爬楼梯(opens new window)
假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。
每次你可以爬至多m (1 <= m < n)个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？
注意：给定 n 是一个正整数。
输入描述：输入共一行，包含两个正整数，分别表示n, m
输出描述：输出一个整数，表示爬到楼顶的方法数。
输入示例：3 2
输出示例：3
提示：
当 m = 2，n = 3 时，n = 3 这表示一共有三个台阶，m = 2 代表你每次可以爬一个台阶或者两个台阶。
此时你有三种方法可以爬到楼顶。
- 1 阶 + 1 阶 + 1 阶段
- 1 阶 + 2 阶
- 2 阶 + 1 阶
看到题目的第一想法
使用完全背包
完全背包：同一个物品可以无限次使用
背包 n 物品 0~m
使用0~m 达到背包容量j 有多少种方法’
这道题求的是顺序数，需要考虑背包和物品的顺序，应该是先背包后物品
看到代码随想录之后的想法
动规五部曲，很快的写出解题思路
1确定dp数组以及对应下标的含义
使用0~m ，dp[j] 到达j层阶梯有多少种方法
2确定递推公式
dp[j]=dp[j-m]+dp[j]
3dp数组初始化
dp[0]=1 一切的起源
4确定遍历顺序
从前往后
先背包后物品 因为需要考虑顺序
5手动推导dp数组
6打印dp数组
自己实现过程中遇到的困难
求排列，我之前写成求组合了
排列是要考虑顺序的，组合不需要考虑顺序
import java.util.*;
import java.lang.*;
public class Main{
public static void main (String[] args) {
/*
本题看起来是一道简单题目，稍稍进阶一下其实就是一个完全背包！
如果我来面试的话，我就会先给候选人出一个 本题原题，看其表现，如果顺利写出来，进而在要求每次可以爬[1 - m]个台阶应该怎么写。
顺便再考察一下两个for循环的嵌套顺序，为什么target放外面，nums放里面。
这就能考察对背包问题本质的掌握程度，候选人是不是刷题背公式，一眼就看出来了。
这么一连套下来，如果候选人都能答出来，相信任何一位面试官都是非常满意的。
本题代码不长，题目也很普通，但稍稍一进阶就可以考察完全背包，而且题目进阶的内容在leetcode上并没有原题，一定程度上就可以排除掉刷题党了，简直是面试题目的绝佳选择！
*/
//Dp数组的定义和每个下标的含义
//完全背包，可以选择自己
// weight[m]=[1,2,3...m]
// j 代表到达j有多少种方法
//dp[j] 爬到i层有多少中方法
//确定递推公式
// dp[j] += dp[j-nums[i]];
//dp数组初始化
// dp[0]=1
//确定遍历顺序
//从前往后，从nums[i]开始
//举例推导dp数组
Scanner sc = new Scanner(System.in);
//n 为楼顶
int n = sc.nextInt();
// m 为一步最远的
int m = sc.nextInt();
int[] weight = new int[m+1];
for(int i=1;i<=m;i++){
weight[i] = i;
}
int dp[] = new int[n+1];
dp[0]=1;
// 这道题是求排列，所以我下面的顺序是错的，我这个顺序是求组合
/*for(int i=1;i<=m;i++){
for(int j=weight[i];j<=n;j++){
dp[j]+=dp[j-weight[i]];
}
}*/
for(int j=1;j<=n;j++){
for(int i=1;i<=m;i++){
if(j>=i) dp[j]+=dp[j-i];
}
}
System.out.println(dp[n]);
}
}322. 零钱兑换(求最小值)
力扣题目链接(opens new window)
给定不同面额的硬币 coins 和一个总金额 amount。编写一个函数来计算可以凑成总金额所需的最少的硬币个数。如果没有任何一种硬币组合能组成总金额，返回 -1。
你可以认为每种硬币的数量是无限的。
示例 1：
- 输入：coins = [1, 2, 5], amount = 11
- 输出：3
- 解释：11 = 5 + 5 + 1
示例 2：
- 输入：coins = [2], amount = 3
- 输出：-1
示例 3：
- 输入：coins = [1], amount = 0
- 输出：0
示例 4：
- 输入：coins = [1], amount = 1
- 输出：1
示例 5：
- 输入：coins = [1], amount = 2
- 输出：2
提示：
- 1 <= coins.length <= 12
- 1 <= coins[i] <= 2^31 - 1
- 0 <= amount <= 10^4
看到题目的第一想法
可以凑成总金额所需的最少的硬币个数
最小值应该怎么处理呢？没想到思路
看到代码随想录之后的想法
动规五部曲，很快的写出解题思路
1确定dp数组以及对应下标的含义
使用0~m ，dp[j] 可以凑成总金额所需的最少的硬币个数
2确定递推公式
是否选中当前， 若选中则dp[j-coins[i]]+1
dp[j]=Math.min(dp[j],dp[j-coins[i]]+1)
3dp数组初始化
dp[0]=0,其他都为Integer.MAX_VALUE
4确定遍历顺序
从前往后
不需要考虑组合或排列，只是求最小值而已
5手动推导dp数组
6打印dp数组
自己实现过程中遇到的困难
从dp[j]的定义来入手考虑递推公式，比如这道题dp[j]代表可以凑成总金额所需的最少的硬币个数，则递推公式为 ，要么选中当前物品 则为dp[j-coins[i]]+1 ，要么不选，则为dp[j](之前的值)
求最小值，应该把其他元素都设为Integer.MAX_VALUE ,第一个元素为0
class Solution {
public int coinChange(int[] coins, int amount) {
//每次取最小值？
//dp[i] 代表凑成总金额所需的硬币数目
// 比如nums[0]=1 amount = 100 凑成1 需要dp[0]+1 or dp[1] 中的最小值
// 则凑成100 需要 dp[99]+1 or dp[100] 的最小值 ，dp[100-1] = dp[99]
// dp数组的定义和下标的含义
// 可以凑成j金额的最少硬币个数
// 确定递推公式
// 0~i凑成j金额的个数 每凑成一个+1
// dp[j] = Math.min(dp[j-coins[i]]+1,dp[j])
// dp数组初始化
// dp[0] = 0，由于是凑成最小个数，则除开第一个外，其他的都是max
// 确定遍历顺序
// 举例推导dp数组
int[] dp = new int[amount+1];
dp[0]=0;
for(int i=1;i<=amount;i++){
dp[i] = Integer.MAX_VALUE;
}
for(int i=0;i完全平方数
力扣题目链接(opens new window)
给定正整数 n，找到若干个完全平方数（比如 1, 4, 9, 16, ...）使得它们的和等于 n。你需要让组成和的完全平方数的个数最少。
给你一个整数 n ，返回和为 n 的完全平方数的 最少数量 。
完全平方数 是一个整数，其值等于另一个整数的平方；换句话说，其值等于一个整数自乘的积。例如，1、4、9 和 16 都是完全平方数，而 3 和 11 不是。
示例 1：
- 输入：n = 12
- 输出：3
- 解释：12 = 4 + 4 + 4
示例 2：
- 输入：n = 13
- 输出：2
- 解释：13 = 4 + 9
提示：
看到题目的第一想法
和上一题感觉差不多，也是求最小数量
但物品为 各个数的平方，1 4 9 16.。。 要怎么来遍历？
其实是用for循环来控制
看到代码随想录之后的想法
动规五部曲，很快的写出解题思路
1确定dp数组以及对应下标的含义
dp[j] 和为j的完全平方数的最小数量
2确定递推公式
是否选中当前， 若选中则dp[j-coins[i]]+1
dp[j]=Math.min(dp[j],dp[j-i]+1)
3dp数组初始化
dp[0]=0,其他都为Integer.MAX_VALUE
4确定遍历顺序
从前往后
不需要考虑组合或排列，只是求最小值而已
5手动推导dp数组
6打印dp数组
自己实现过程中遇到的困难
按照for循环来确立物品的范围
先背包后物品
for(int i=1;i<=n;i++){
//物品的平方要<=i
for(int j=1;j*j<=i;j++){
}
}
先物品后背包
for(int i=1;i*i<=n;i++){
//物品的平方要<=i
for(int j=1;j<=m;j++){
}
}
求最小值，应该把其他元素都设为Integer.MAX_VALUE ,第一个元素为0
-
class Solution { public int numSquares(int n) { //完全平方数和为背包容量j // 在完全平方数中选取能满足完全平方数和为背包容量j的最小个数 // dp数组的定义和下标的含义 // dp[j]为能满足容量j所需的完全平方数的最小个数 // 确定递推公式 // dp[j]=Math.min(dp[j],dp[j-某个平方]+1); // dp数组初始化 // dp[0]=0，其他都为最大值 // 确定遍历顺序 // 可以重复使用，则从前往后 // 举例推导dp数组 // 平方为1 dp[0]=0,dp[1]=1;dp[2]=2;dp[3]=3;dp[4]=4; // 平方为4 dp[0]=0,dp[1]=1;dp[2]=2;dp[3]=3;dp[4]=1; int[] dp = new int[n+1]; for(int i=0;i<=n;i++){ dp[i]=Integer.MAX_VALUE; } dp[0] = 0; for(int i=1;i*i<=n;i++){ for(int j=i*i;j<=n;j++){ dp[j] = Math.min(dp[j],dp[j-i*i]+1); } } return dp[n]; } }