【学习笔记】伯努利数

似乎是一篇又水又没啥用的博客。

Part 1

首先给出伯努利数$B_n$的生成函数定义：

$$\frac{x}{e^x-1}=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{B_n{x}^n}{n!}$$

伯努利数可以用来等幂求和。

定义
$$S_m(n)=\sum _{i=0}^{n-1}{i}^m$$

众所周知这是一个$m+1$次多项式，事实上：

$$S_m(n)=\frac{1}{m+1}\sum _{k=0}^m\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{m+1}{k}\right)B_k{n}^{m+1-k}$$

事实上可以观察发现每一行的各项系数和为$0$，因此我们可以得到伯努利数的递推关系：

$$\begin{gathered} \sum _{j=0}^m\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{m+1}{j}\right)B_j=0,(m>0) \\ {B}_0=1 \end{gathered}$$

因此理论上伯努利数也可以半在线卷积求，但是 我不会高科技 直接多项式求逆显然更方便一些。

这下我们终于知道为什么任意$m$次多项式的前缀和是$m+1$次多项式了。这不是显然吗。当然在大多数题目中还会做一些类似于平移、伸缩的变换。

Part 2

众所周知自然数幂与第二类斯特林数有一定的关系，因此我们猜测伯努利数和第二类斯特林数也有一定的关系。

小小的trick：

$$\begin{array}{rl}\frac{x}{e^x-1}& =\frac{\ln (1-(1-e^x))}{e^x-1}\\ & =\sum _{k\ge 0}\frac{(1-e^x{)}^k}{k+1}\\ & =\sum _{k\ge 0}\frac{(-1{)}^k}{k+1}\sum _{i\ge k}\left\{\begin{array}{c}i\\ k\end{array}\right\}\frac{k!}{i!}{x}^i\\ & =\sum _{i\ge 0}\frac{x^i}{i!}\sum _{0\le k\le i}\frac{(-1{)}^{k}k!}{k+1}\left\{\begin{array}{c}i\\ k\end{array}\right\}\end{array}$$

对这部分推导不熟悉的可以看一下 这篇博客 。则我们得到了直接计算伯努利数的公式：

$$B_n=\sum _{k=1}^n\frac{(-1{)}^{k}k!}{k+1}\left\{\begin{array}{c}i\\ k\end{array}\right\}$$

评价是没什么用处。

例题：仓鼠的数学题