算法 - 动态规划 / 贪心算法

动态规划

股票问题

121. 买卖股票的最佳时机 [数组] [股票] (动态规划)

class Solution {
private:
    vector<vector<int>> dp;     // dp[i][j]: 第 i 天持有 j 只股票
public:
    int maxProfit(vector<int>& prices) {
        int n = prices.size();
        dp = vector<vector<int>>(n, vector<int>(2));
        // base case
        dp[0][0] = 0;
        dp[0][1] = -prices[0];
        // 状态转移
        for (int i = 1; i < n; ++i) {
            for (int j = 0; j < 2; ++j) {
                // 第i天无股 = 第i-1天无股/ 第i-1天有股, 并卖出
                dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] + prices[i]);
                // 第i天有股 = 第i-1天有股 / 第一次买入
                dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], - prices[i]);
            }
        }
        return dp[n - 1][0];
    }
};

122. 买卖股票的最佳时机Ⅱ [数组] [股票] (动态规划)

class Solution {
private:
    vector<vector<int>> dp;     // dp[i][j]: 第 i 天持有 j 只股票的利润
public:
    int maxProfit(vector<int>& prices) {
        int n = prices.size();
        dp = vector<vector<int>>(n, vector<int>(2));
        // base case
        dp[0][0] = 0;
        dp[0][1] = -prices[0];
        // 状态转移
        for (int i = 1; i < n; ++i) {
            for (int j = 0; j < 2; ++j) {
                // 第i天无股 = 第i-1天无股/ 第i-1天有股, 并卖出
                dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] + prices[i]);
                // 第i天有股 = 第i-1天有股 / 第i-1天无股, 并买入
                dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][0] - prices[i]);
            }
        }
        return dp[n - 1][0];
    }
};

123. 买卖股票的最佳时机Ⅲ [数组] [股票] (动态规划)

class Solution {
private:
    vector<vector<vector<int>>> dp; // dp[i][k][j]: 第 i 天交易 k 次持有 j 股的收益
public:
    int maxProfit(vector<int>& prices) {
        int n = prices.size();
        int K = 2;                  // 可以交易的次数
        dp = vector<vector<vector<int>>>(n, vector<vector<int>>(K + 1, vector<int>(2)));
        // base case
        for (int k = 0; k <= K; ++k) {
            dp[0][k][0] = 0;
            dp[0][k][1] = -prices[0];
        }
        for (int i = 1; i < n; ++i) {
            dp[i][0][0] = 0;
            dp[i][0][1] = max(dp[i - 1][0][1], dp[i - 1][0][0] - prices[i]);
        }
        // 状态转移
        for (int i = 1; i < n; ++i) {
            for (int k = 1; k <= K; ++k) {
                // 今天完成k笔交易无股 = 昨天完成k笔交易无股啥也没干 / 昨天完成k-1笔有股且卖了只股票
                dp[i][k][0] = max(dp[i - 1][k][0], dp[i - 1][k - 1][1] + prices[i]);
                // 今天完成k笔交易有股 = 昨天完成k笔交易有股啥也没干 / 昨天完成k笔无股今天买了只股票
                dp[i][k][1] = max(dp[i - 1][k][1], dp[i - 1][k][0] - prices[i]);
            }
        }
        return dp[n - 1][K][0];
    }
};

188. 买卖股票的最佳时机Ⅳ [数组] [股票] (动态规划)

class Solution {
private:
    vector<vector<vector<int>>> dp; // dp[i][k][j]: 第 i 天交易 k 次持有 j 股的收益
public:
    int maxProfit(int K, vector<int>& prices) {
        int n = prices.size();
        dp = vector<vector<vector<int>>>(n, vector<vector<int>>(K + 1, vector<int>(2)));
        // base case
        for (int i = 0; i <= K; ++i) {
            dp[0][i][0] = 0;
            dp[0][i][1] = -prices[0];
        }
        for (int i = 1; i < n; ++i) {
            dp[i][0][0] = 0;
            dp[i][0][1] = max(dp[i - 1][0][1], dp[i - 1][0][0] - prices[i]);
        }
        // 状态转移
        for (int i = 1; i < n; ++i) {
            for (int k = 1; k <= K; ++k) {
                // 今天完成k笔交易无股 = 昨天完成k笔交易无股啥也没干 / 昨天完成k-1笔有股且卖了只股票
                dp[i][k][0] = max(dp[i - 1][k][0], dp[i - 1][k - 1][1] + prices[i]);
                // 今天完成k笔交易有股 = 昨天完成k笔交易有股啥也没干 / 昨天完成k笔无股今天买了只股票
                dp[i][k][1] = max(dp[i - 1][k][1], dp[i - 1][k][0] - prices[i]);
            }
        }
        return dp[n - 1][K][0];
    }
};

309. 买卖股票的最佳时机含冷冻期 [数组] [股票] (动态规划)

class Solution {
private:
    vector<vector<int>> dp;     // dp[i][j]: 第 i 天持有 j 只股票的利润
public:
    int maxProfit(vector<int>& prices) {
        int n = prices.size();
        dp = vector<vector<int>>(n, vector<int>(2));
        // base case
        dp[0][0] = 0;
        dp[0][1] = -prices[0];
        if (n > 1) {
            dp[1][0] = max(dp[0][0], dp[0][1] + prices[1]);
            // 前一天有股票 / 今天刚买
            dp[1][1] = max(dp[0][1], -prices[1]);
        }
        // 状态转移
        for (int i = 2; i < n; ++i) {
            for (int j = 0; j < 2; ++j) {
                // 第i天无股 = 第i-1天无股/ 第i-1天有股, 并卖出
                dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] + prices[i]);
                // 第i天有股 = 第i-1天有股 / 第i-1天无股, 并买入
                dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], dp[i - 2][0] - prices[i]);
            }
        }
        return dp[n - 1][0];
    }
};

714. 买卖股票的最佳时机含手续费 [数组] [股票] (动态规划)

class Solution {
private:
    vector<vector<int>> dp;     // dp[i][j]: 第 i 天持有 j 只股票的利润
public:
    int maxProfit(vector<int>& prices, int fee) {
        int n = prices.size();
        dp = vector<vector<int>>(n, vector<int>(2));
        // base case
        dp[0][0] = 0;
        dp[0][1] = -prices[0];
        // 状态转移
        for (int i = 1; i < n; ++i) {
            for (int j = 0; j < 2; ++j) {
                // 第i天无股 = 第i-1天无股/ 第i-1天有股, 并卖出, 但需要手续费
                dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] + prices[i] - fee);
                // 第i天有股 = 第i-1天有股 / 第i-1天无股, 并买入
                dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][0] - prices[i]);
            }
        }
        return dp[n - 1][0];
    }
};

打家劫舍

198. 打家劫舍 [数组] [打劫] (动态规划)

class Solution {
private:
    vector<int> dp;     // dp[i]: 抢到第 i 家的最大金额
public:
    int rob(vector<int>& nums) {
        int n = nums.size();
        dp = vector<int>(n, 0);
        // base case
        dp[0] = nums[0];
        if (n > 0) {
            dp[1] = max(dp[0], nums[1]);
        }
        // 状态转移
        for (int i = 2; i < n; ++i) {
            // 抢上一家, 还是不抢上一家
            dp[i] = max(dp[i - 1], dp[i - 2] + nums[i]);
        }
        return dp[n - 1];
    }
};

213. 打家劫舍Ⅱ [数组] [打劫] (动态规划)

class Solution {
private:
    vector<int> dp1, dp2;     // dp[i]: 抢到第 i 家的最大金额
public:
    int rob(vector<int>& nums) {
        int n = nums.size();
        // 终止条件
        if (n == 1) return nums[0];
        if (n == 2) return max(nums[0], nums[1]);
        dp1 = vector<int>(n - 1, 0);
        dp2 = vector<int>(n - 1, 0);
        // base case
        dp1[0] = nums[0];
        dp1[1] = max(dp1[0], nums[1]);
        // base case
        dp2[0] = nums[1];
        dp2[1] = max(dp2[0], nums[2]);
        // 状态转移   [0 1 2 3 4] -> [0 1 2 3]
        for (int i = 2; i < n - 1; ++i) {
            // 抢上一家, 还是不抢上一家
            dp1[i] = max(dp1[i - 1], dp1[i - 2] + nums[i]);
        }
        // 状态转移   [0 1 2 3 4] -> [1 2 3 4]
        for (int i = 2; i < n - 1; ++i) {
            // 抢上一家, 还是不抢上一家
            dp2[i] = max(dp2[i - 1], dp2[i - 2] + nums[i + 1]);
        }
        return max(dp1[n - 2], dp2[n - 2]);
    }
};

337. 打家劫舍III [数组] [打劫] (动态规划) (递归)

class Solution {
private:
    unordered_map<TreeNode*, int> dp; // 抢到每个节点时的最大金额
public:
    int rob(TreeNode* root) {
        return traverse(root);
    }

    int traverse(TreeNode* root) {
        if (root == nullptr) return 0;
        // 备忘录有记, 返回金额
        if (dp.count(root)) return dp[root];
        // 做选择, 抢
        int q1 = root->val;
        if (root->left != nullptr) {
            q1 += traverse(root->left->left) + traverse(root->left->right);
        }
        if (root->right != nullptr) {
            q1 += traverse(root->right->left) + traverse(root->right->right);
        }
        // 做选择, 不抢
        int q2 = 0;
        q2 += traverse(root->left) + traverse(root->right);
        // 更新 dp
        dp[root] = max(q1, q2);
        return dp[root];
    }
};

背包问题

322. 零钱兑换 [数组] [背包] (动态规划)

class Solution {
private:
    vector<vector<int>> dp;     // 前 i 硬币凑齐 j 需要的最少硬币数
public:
    int coinChange(vector<int>& coins, int amount) {
        if (amount == 0) return 0;
        int n = coins.size();
        dp = vector<vector<int>>(n + 1, vector<int>(amount + 1, INT_MAX - 1));
        // base case
        dp[0][0] = 0;
        // 状态转移
        for (int i = 1; i <= n; ++i) {
            int cur = coins[i - 1];
            for (int j = 0; j <= amount; ++j) {
                if (cur <= j) {
                    // 前 i-1 个硬币凑成 j / 前 i 个硬币凑成 j-cur
                    dp[i][j] = min(dp[i - 1][j], dp[i][j - cur] + 1); 
                } else {
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j];
                }
            }
        }
        return dp[n][amount] == INT_MAX - 1 ? -1 : dp[n][amount];
    }
};

416. 分隔等和子集 [数组] [背包] (动态规划)

// 容量为 n 的背包, 是否可以装满 sum/2 的物品
class Solution {
private:
    vector<vector<bool>> dp;    // dp[i][j]: 前 i 个数是否可以装满 j
public:
    bool canPartition(vector<int>& nums) {
        int n = nums.size();
        int sum = 0;
        for (int i = 0; i < n; ++i) {
            sum += nums[i];
        }
        if (sum % 2 == 1) return false;
        int target = sum / 2;
        dp = vector<vector<bool>>(n + 1, vector<bool>(target + 1, false));
        // BASE CASE
        for (int i = 0; i <= n; ++i) {
            dp[i][0] = true;
        }
        // 状态转移方程
    	for (int i = 1; i <= n; ++i) {
            int cur = nums[i - 1];
    		for (int j = 1; j <= target; ++j) {
    			if (cur == j) {                 // 只用第 i 个数就可以凑齐
                    dp[i][j] = true;
                } else if (cur > j) {   // 看前 i-1 个是否可以凑齐
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j];
                } else if (cur < j) {   // 前 i-1 个数可以凑齐或凑到 j-nums[i]
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j] || dp[i - 1][j - cur];
                }            
    		}
    	}
    	return dp[n][target];
    }
};

474. 一和零 [字符数组] [背包] (动态规划)

// 给定两个个容量为 m, n 的 0 1 背包, 看能装下多少个包含 0 1 的字符串 
class Solution {
private:
    vector<vector<vector<int>>> dp; // dp[i][j][k] 代表前 i 个 str 中可以放 j 个 0 k 个 1 的字符串数
public:
    int findMaxForm(vector<string>& strs, int m, int n) {
        int len = strs.size();
        dp = vector<vector<vector<int>>>(len + 1, vector<vector<int>>(m + 1, vector<int>(n + 1, 0)));
        // BASE CASE
        // dp[0][...][...] = 0;
        // 状态转移方程, 状态: 选不选第 i 个字符串
        // 选, dp[i][j][k] = max(dp[i - 1][j][k], dp[i - 1][j - c0][k - c1])
        // 不选, dp[i][j][k] = dp[i - 1][j][k]
        for (int i = 1; i <= len; ++i) {
            pair<int, int> getZO = count(strs[i - 1]);
            int zeros = getZO.first, ones = getZO.second;
            for (int j = 0; j <= m; ++j) {
                for (int k = 0; k <= n; ++k) {
                    if (zeros <= j && ones <= k) {
                        dp[i][j][k] = max(dp[i - 1][j][k], dp[i - 1][j - zeros][k - ones] + 1);
                    } else {
                        dp[i][j][k] = dp[i - 1][j][k];
                    }
                }
            }
        }
        return dp[len][m][n];
    }
    pair<int, int> count(string& str) {
        int zeros = 0, ones = 0;
        for (auto ch : str) {
            if (ch == '0') {
                zeros++;
            } else {
                ones++;
            }
        }
        return make_pair(zeros, ones);
    }
};

494. 目标和 [数组] [背包] (动态规划)

// 给两个背包, 一个背包里装正数, 一个装负数, 让和为 target
// 那么等价于让正背包里刚好凑满 (all + target) / 2
class Solution {
private:
    vector<int> dp; // dp[i][j]: 从前 i 个数字中可以组合成 j 的方案个数
public:
    int findTargetSumWays(vector<int>& nums, int target) {
        // BASE CASE
        int n = nums.size();
        // 现在有两个背包, 一个装正数, 一个装负数
        int total = 0;
        for (int i = 0; i < n; ++i) {
            total += nums[i];
        }
        if (abs(target) > total) return 0;          // 目标太大了, 不可能凑到
        if ((total + target) % 2 == 1) return 0;    // pos 不为整数
        int pos = (total + target) / 2;    
        dp = vector<int>(pos + 1, 0);
        dp[0] = 1;
        // 状态转移方程
        // dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i - 1][j - nums[i]] 算上最后一个数/ 不算最后一个数
        for (int i = 1; i <= n; ++i) {
            int cur = nums[i - 1];
            for (int j = pos; j >= 0; --j) {
                if (cur <= j) { // 可以选或不选
                    dp[j] = dp[j] + dp[j - cur];
                } 
            }
        }
        return dp[pos];
    }
};

518. 零钱兑换Ⅱ [数组] [背包] (动态规划)

// 给定一个容量为 amount 的背包, 和一堆硬币, 凑满的方法有多少种
class Solution {
private:
    vector<vector<int>> dp; // dp[i][j] 前 i 个货币凑齐 j 的方案数 
public:
    int change(int amount, vector<int>& coins) {
        int n = coins.size();
        dp = vector<vector<int>>(n + 1, vector<int>(amount + 1, 0));
        // BASE CASE
        dp[0][0] = 1;
        // 状态转移方程
        for (int i = 1; i <= n; ++i) {
            int coin = coins[i - 1];                            // 当前硬币, 选不选
            for (int j = 0; j <= amount; ++j) {
                if (coin <= j) {
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - coin];  // 不重复使用 coin/ 重复使用 coin
                } else {
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j];                    // 不重复使用 coin
                }
            }
        }
        return dp[n][amount];
    }
};

1049. 最后一块石头的重量 [数组] [背包] (动态规划)

// 分成两堆石头, 正的, 负的
// sum = heap1 + heap2, heap1 < heap2
// 求 heap1 - heap2 的最小值 -> heap2 的最大值, 且 heap2 <= sum / 2
// 给一个容量为 sum / 2 的背包, 看最多能装多少石头
class Solution {
private:
    vector<vector<int>> dp; // dp[i][j]:前 i 石头装进 target 容量背包的最大石头量
public:
    int lastStoneWeightII(vector<int>& stones) {
        int n = stones.size();          // 石头总量
        int sum = 0;
        for (auto& stone : stones) {
            sum += stone;
        }
        dp = vector<vector<int>>(n + 1, vector<int>(sum / 2 + 1, 0));
        // BASE CASE
        // dp[0][...] = 0;
        // 状态转移方程
        // 如果第 i 块石头装不下 dp[i][j] = dp[i - 1][j]
        // 如果第 i 块石头装得下 dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - nums[i] + nums[i]])
        for (int i = 1; i <= n; ++i) {
            int stone = stones[i - 1];
            for (int j = 0; j <= sum / 2; ++j) {
                if (stone <= j) {
                    dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - stone] + stone);
                } else {
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j];
                }
            }
        }
        return sum - 2 * dp[n][sum / 2];
    }
};

编辑距离

72. 编辑距离 [字符串] [编辑距离] (动态规划)

// 定义 dp[i][j]: 使 s1[0...i] 与 s2[0...j] 相等的编辑距离
class Solution {
private:
    vector<vector<int>> dp;     // dp[i][j]: 使 s1[0...i] 与 s2[0...j] 相等的编辑距离
public:
    int minDistance(string word1, string word2) {
        int m = word1.size(), n = word2.size();
        dp = vector<vector<int>>(m + 1, vector<int>(n + 1, 0));
        // base case
        for (int i = 0; i <= m; ++i) dp[i][0] = i;
        for (int j = 0; j <= n; ++j) dp[0][j] = j;
        // 状态转移
        for (int i = 1; i <= m; ++i) {
            for (int j = 1; j <= n; ++j) {
                if (word1[i - 1] == word2[j - 1]) {
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
                } else {
                    // 插入 or 删除 or 替换
                    // 如已知 i 与 j-1 相同 -> 那么让 i 与 j 相同则需添加一个 s1[i+1] = s2[j], 操作次数 +1
                    dp[i][j] = min(min(dp[i][j - 1], dp[i - 1][j]), dp[i - 1][j - 1]) + 1;
                }
            }
        }
        return dp[m][n];
    }
};

583. 两个字符串的删除操作 [字符串] [编辑距离] (动态规划)

// 定义: dp[i][j]: 使 s1[0...i] s2[0...j] 相同的最少删除次数
class Solution {
private:
    vector<vector<int>> dp; // dp[i][j]: 使 s1[0...i] s2[0...j] 相同的最少删除次数
public:
    int minDistance(string word1, string word2) {
        int m = word1.size(), n = word2.size();
        dp = vector<vector<int>>(m + 1, vector<int>(n + 1, 0));
        // base case
        for (int i = 0; i <= m; ++i) dp[i][0] = i;
        for (int j = 0; j <= n; ++j) dp[0][j] = j;
        // 状态转移方程
        for (int i = 1; i <= m; ++i) {
            for (int j = 1; j <= n; ++j) {
                if (word1[i - 1] == word2[j - 1]) {
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
                } else {
                    // 删除 i or 删除 j
                    // 如已知 s1[0...i-1] == s2[0...j], 那么让 s1[0...i] == s2[0...j] 需要删除 s1[i], 操作 +1
                    dp[i][j] = min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]) + 1;
                }
            }
        }
        return dp[m][n];
    }
};

1312. 让字符串成为回文串的最少插入次数 [字符串] [编辑距离] [回文] (动态规划)

// 定义 dp[i][j]: 对 s[i][j] 插入多少字符可以变为回文串
class Solution {
private:
    vector<vector<int>> dp; // dp[i][j]: 对 s[i...j] 插入多少个字符可以变为回文串
public:
    int minInsertions(string s) {
        int n = s.size();
        dp = vector<vector<int>>(n, vector<int>(n, 0));
        // BASE CASE
        // for (int i = 0; i < n; ++i) dp[i][i] = 0;
        // 状态转移方程
        for (int len = 2; len <= n; ++len) {
            for (int i = 0; i <= n - len; ++i) {
                int j = i + len -1;
                if (s[i] == s[j]) {
                    dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1];
                } else {
                	// 在 i 处插入 or 在 j 处插入
                	// 已知 s[i+1...j] 是回文, 让 s[i...j] 是回文需要插入一个字符, 操作 +1
                    dp[i][j] = min(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1]) + 1;
                }
            }
        }
        return dp[0][n - 1];
    }
};

712. 两个字符串的最小 ASCII 删除和 [字符串] [编辑和] (动态规划)

// 定义 dp[i][j]: 使 s1[0...i] 与 s2[0...j] 相等的最小删除和
class Solution {
private:
    vector<vector<int>> dp; // dp[i][j]: 使 s1[0...i] 与 s2[0...j] 相等的最小删除和
public:
    int minimumDeleteSum(string s1, string s2) {
        int m = s1.size(), n = s2.size();
        dp = vector<vector<int>>(m + 1, vector<int>(n + 1, 0));
        // base case
        for (int i = 1; i <= m; ++i) dp[i][0] = dp[i - 1][0] + s1[i - 1];
        for (int j = 1; j <= n; ++j) dp[0][j] = dp[0][j - 1] + s2[j - 1];
        // 状态转移方程
        for (int i = 1; i <= m; ++i) {
            for (int j = 1; j <= n; ++j) {
                if (s1[i - 1] == s2[j - 1]) {
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
                } else {
                    // 删除 s1[i] or s2[j]
                    // 比如 s1[0...i-1] == s2[0...j], 那么删除 s1[i] 两者就相等了
                    // dp[i][j] -> dp[i-1][j] 会增加删除和
                    dp[i][j] = min(dp[i - 1][j] + s1[i - 1], dp[i][j - 1] + s2[j - 1]);
                }
            }
        }
        return dp[m][n];
    }
};

子序列

53. 最大子数组和 [数组] [子序列] (动态规划)

// 定义: 以 nums[i] 结尾的数的最大子数组和
class Solution {
private:
    vector<int> dp;     // 以 nums[i] 结尾的数的最大子数组和
public:
    int maxSubArray(vector<int>& nums) {
        int n = nums.size();
        dp = vector<int>(n, 0); // dp 初始化
        // BASE CASE
        dp[0] = nums[0];
        // 状态转移方程
        for (int i = 1; i < n; ++i) {
            dp[i] = max(nums[i], nums[i] + dp[i - 1]);
        }
        int res = *max_element(dp.begin(), dp.end());
        return res;
    }
};

139. 单词拆分 [字符串] [拼接] (动态规划)

// 定义 dp[i]: s[0...i] 是否可以被拼出
class Solution {
private:
    vector<bool> dp;                 // dp[i]: s[0...i] 是否可以被拼出
    unordered_set<string> uset;     // 存放拼接的字符串
public:
    bool wordBreak(string s, vector<string>& wordDict) {
        int n = s.size();
        dp = vector<bool>(n + 1, false);
        for (auto& word : wordDict) {
            uset.insert(word);
        }
        // base case
        dp[0] = true;
        // 状态转移
        for (int i = 1; i <= n; ++i) {
            for (int j = 0; j < i; ++j) {
                // 如果 s[0...j] 可以被拼出, 且 s[j...i] 存在该单词
                if (dp[j] && uset.count(s.substr(j, i - j))) {
                    dp[i] = true;
                    break;
                }
            }
        }
        return dp[n];
    }
};

300. 最长递增子序列 [数组] [子序列] (动态规划)

// 定义: 以 nums[i] 结尾的最长子序列
class Solution {
private:
    vector<int> dp;     // 以 nums[i] 结尾的最长子序列
public:
    int lengthOfLIS(vector<int>& nums) {
        int n = nums.size();
        // base case
        dp = vector<int>(n, 1);     // 初始化备忘录
        // 状态转移方程
        for (int i = 0; i < n; ++i) {
            for (int j = 0; j < i; ++j) {
                if (nums[j] < nums[i]) {
                    dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);
                }
            } 
        }
        // 从备忘录中获取最大子序列
        int res = *max_element(dp.begin(), dp.end());
        return res;
    }
};

516. 最长回文子序列 [字符串] [子序列] [回文] (动态规划)

// 定义 dp[i][j]: 字符串 s[i...j] 的最长回文子序列
class Solution {
private:
    vector<vector<int>> dp; // dp[i][j]: s[i...j] 的最长回文子序列
public:
    int longestPalindromeSubseq(string s) {
        int n = s.size();
        dp = vector<vector<int>>(n, vector<int>(n, 0));
        // BASE CASE
        for (int i = 0; i < n; ++i) dp[i][i] = 1;
        // 状态转移方程
        for (int len = 2; len <= n; ++len) {
            for (int i = 0; i <= n - len; ++i) {
                int j = i + len - 1;
                if (s[i] == s[j]) {
                    dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2;
                } else {
                	// 分别对应 去掉 i 处元素 or 去点 j 处元素 的回文数
                    dp[i][j] = max(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1]);
                }
            }
        }
        return dp[0][n - 1];
    }
};

1143. 最长公共子序列 [字符串] [子序列] (动态规划)

// 定义 dp[i][j]: 代表 s1[0...i] 与 s2[0...j] 的最长公共子序列
class Solution {
private:
    vector<vector<int>> dp; // dp[i][j]: 代表 s1[0...i] 与 s2[0...j] 的最长公共子序列
public:
    int longestCommonSubsequence(string text1, string text2) {
        int m = text1.size(), n = text2.size();
        dp = vector<vector<int>>(m + 1, vector<int>(n + 1, 0));
        // base case
        // dp[0][...] = 0, dp[...][0] = 0;
        // 状态转移方程
        for (int i = 1; i <= m; ++i) {
            for (int j = 1; j <= n; ++j) {
                if (text1[i - 1] == text2[j - 1]) {
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
                } else {
                    dp[i][j] = max(dp[i][j - 1], dp[i - 1][j]);
                }
            }
        }
        return dp[m][n];
    }
};

路径和

64. 最小路径和 [矩阵] [路径和] (动态规划)

// 定义 dp[i][j]: 到达 (i，j) 的最小路径和
class Solution {
private:
    vector<vector<int>> dp; // dp[i][j]: 到达 (i，j) 的最小路径和
public:
    int minPathSum(vector<vector<int>>& grid) {
        int m = grid.size(), n = grid[0].size();
        dp = vector<vector<int>>(m, vector<int>(n, 0));
        // BASE CASE
        dp[0][0] = grid[0][0];
        for (int i = 1; i < m; ++i) dp[i][0] = dp[i - 1][0] + grid[i][0];
        for (int j = 1; j < n; ++j) dp[0][j] = dp[0][j - 1] + grid[0][j];
        // 状态转移方程
        for (int i = 1; i < m; ++i) {
            for (int j = 1; j < n; ++j) {
                dp[i][j] = min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]) + grid[i][j];
            }
        }
        return dp[m - 1][n - 1];
    }
};

174. 地下城游戏 [矩阵] [路径和] (动态规划) (逆向)

// 定义 dp[i][j]: 从 (i,j) 到达终点 (m-1, n-1) 的最小生命值
class Solution {
private:
    vector<vector<int>> dp; // dp[i][j]: 从 (i,j) 到达终点 (m-1, n-1) 的最小生命值
public:
    int calculateMinimumHP(vector<vector<int>>& dungeon) {
        int m = dungeon.size(), n = dungeon[0].size();
        dp = vector<vector<int>>(m, vector<int>(n, 0));
        // base case
        dp[m - 1][n - 1] = max(1, 1 - dungeon[m - 1][n - 1]);
        // 最后一列
        for (int i = m - 2; i >= 0; --i) {
            dp[i][n - 1] = max(1, dp[i + 1][n - 1] - dungeon[i][n - 1]);
        }
        // 最后一行
        for (int i = n - 2; i >= 0; --i) {
            dp[m - 1][i] = max(1, dp[m - 1][i + 1] - dungeon[m - 1][i]);
        }
        // 状态转移方程
        for (int i = m - 2; i >= 0; --i) {
            for (int j = n - 2; j >= 0; --j) {
                // 选一个值较小的方向走
                dp[i][j] = max(1, min(dp[i + 1][j], dp[i][j + 1]) - dungeon[i][j]);
            }
        }
        return dp[0][0];
    }
};

787. K 站中转内最便宜的航班 [图] [K步最短路径] (动态规划) (bellman ford)

// 定义 dp[i][j]: 走过 i 步后, 到达 j 的最小费用
class Solution {
private:
    vector<vector<int>> dp; // dp[i][j]: 走过 i 步后, 到达 j 的最短费用
    const int INF = 0x3f3f3f3f;
public:
    int findCheapestPrice(int n, vector<vector<int>>& flights, int src, int dst, int k) {
        // k 站 代表 k+1 条边
        dp = vector<vector<int>>(k + 2, vector<int>(n, INF));
        dp[0][src] = 0;     // 走 0 步到达出发点的费用为 0
        // 只走一步, 只走两步 ... 
        for (int i = 1; i <= k + 1; ++i) {
            for (auto& flight : flights) {
                // start, end 为一条边的两端
                int start = flight[0], end = flight[1], cost = flight[2];
                dp[i][end] = min(dp[i][end], dp[i - 1][start] + cost);
            }
        }
        int res = INF;
        // 经过一/2/3/...步到达终点的最小值
        for (int i = 1; i <= k + 1; ++i) {
            res = min(res, dp[i][dst]);
        }
        // 如果走 i 步根本到不了终点
        return res == INF ? -1 : res;
    }
};

931. 下降路径最小和 [矩阵] [路径和] (动态规划) (扩展边界)

// 定义 dp[i][j]: 到达 (i，j) 的最小路径和
class Solution {
private:
    vector<vector<int>> dp;     // dp[i][j]: 到达 (i，j) 的最小路径和
    vector<vector<int>> dirts = {{-1, -1}, {-1, 0}, {-1, 1}};   // 方向
public:
    int minFallingPathSum(vector<vector<int>>& matrix) {
        int m = matrix.size(), n = matrix[0].size();
        dp = vector<vector<int>>(m, vector<int>(n + 2, INT_MAX));
        // base case 
        for (int j = 1; j <= n; ++j) dp[0][j] = matrix[0][j - 1];
        // 状态转移方程
        for (int i = 1; i < m; ++i) {
            for (int j = 1; j <= n; ++j) {
                for (auto& dirt : dirts) {
                    // 左下, 正下, 右下
                    dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i + dirt[0]][j + dirt[1]]);
                }
                dp[i][j] += matrix[i][j - 1];
            }
        }
        int res = *min_element(dp[m - 1].begin(), dp[m - 1].end());
        return res;
    }
};

其他

140. 单词拆分Ⅱ [字符串] (动态规划) (递归)

class Solution {
private:
    unordered_set<string> uset;     // 存放待对比的字符串
    vector<vector<string>> dp;      // 备忘录, 记录 s[i...] 可以拼的句子有哪几种
    int n;                          // 字符串长度
public:
    vector<string> wordBreak(string s, vector<string>& wordDict) {
        int n = s.size(); this->n = n;                      // 字符串的长度
        dp = vector<vector<string>>(n, vector<string>(0));  // dp 初始化
        for (auto& word : wordDict) {                       // uset 初始化
            uset.insert(word);
        }
        vector<int> res = traverse(s, 0);                               // 调用递归函数
        return res;
    }
    // 获取 s[i...] 可以拼接的句子有哪些
    vector<string> traverse(string s, int i) {
        vector<string> cur_res;                             // 创建一个空的数组, 记录可行的字符串 
        // BASE CASE
        if (i == n) {                                       // 此时 s 字符串结束
            cur_res.push_back("");
            return cur_res;
        }
        // 获取备忘录, s[i...] 可以拼接的句子
        if (!dp[i].empty()) {
            return dp[i];
        }
        // 状态转移方程
        for (int len = 1; len + i <= n; ++len) {
            string subStr = s.substr(i, len);                   // 获取一个子单词
            if (uset.count(subStr)) {                           // 这个子单词可以被拼接
                vector<string> subFind = traverse(s, i + len);  // 子任务可以拼接的字符串有哪些
                for (auto& sub : subFind) {
                    if (sub.empty()) {                          // 防止最后一个单词后多个空格
                        cur_res.push_back(subStr);
                    } else {
                        cur_res.push_back(subStr + " " + sub);
                    }
                }
            }
        }
        // 更新备忘录
        dp[i] = cur_res;
        return cur_res;
    }
};

514. 自由之路 [字符串] [操作次数] (动态规划)

// 定义 dp[i][j]: 当前匹配 key[0...i], 从 ring[j] 开始移动需要操作多少次 
class Solution {
private:
    vector<vector<int>> dp; // dp[i][j]: 当前匹配 key[0...i], 从 ring[j] 开始移动需要操作多少次 
    unordered_map<char, vector<int>> umap;  // 字符对应的索引
public:
    int findRotateSteps(string ring, string key) {
        int m = key.size(), n = ring.size();
        dp = vector<vector<int>>(m, vector<int>(n, INT_MAX));
        for (int i = 0; i < n; ++i) {
            umap[ring[i]].push_back(i);
        }
        // base case  key[0][0] 需要的操作部数
        for (auto& pos : umap[key[0]]) {
            dp[0][pos] = min(dp[0][pos], cal(n, 0, pos) + 1);
        }
        // 状态转移
        for (int i = 1; i < m; ++i) {       // 先选取 key 中的一个字符
            for (auto& pos : umap[key[i]]) {
                // 从前一阶段的位置移动到当前位置的次数 dp[i][pos]
                for (auto& prepos : umap[key[i - 1]]) {
                    dp[i][pos] = min(dp[i][pos], dp[i - 1][prepos] + cal(n, prepos, pos) + 1);
                }
            }
        }
        // RETURN 匹配 key[m] 但最终位置落于那个地方不确定
        int res = *min_element(dp[m - 1].begin(), dp[m - 1].end());
        return res;
    }
    // 从 a 到 b 需要的次数 [0, 1, 2, 3, 4, 5]
    // n = 6, 从 2 移动到 4, (6 + 2 - 4) % 6 = 4  (6 + 4 - 2) % 6 = 2
    int cal(int len, int a, int b) {
        return min((len + a - b) % len, (len + b - a) % len);
    }
};

贪心算法

区间重叠

252. 会议室 [区间数组] [重叠] (贪心)

// 其实就是判断是否存在重叠
class Solution {
private:
    int cur_end = INT_MIN;  // 当前和前一个的开始值
public:
    bool canAttendMeetings(vector<vector<int>>& intervals) {
        sort(intervals.begin(), intervals.end(), [](vector<int>& a, vector<int>& b) {
            return a[1] < b[1];
        });
        // 开始遍历
        for (auto& interval : intervals) {
            int start = interval[0], end = interval[1];
            // 有重叠
            if (start < cur_end) return false;
            // 无重叠
            cur_end = end; 
        }
        return true;
    }
};

253. 会议室Ⅱ [区间数组] [重叠] (贪心)

// 求同一个时间点, 最多有几个区间重叠
class Solution {
private:
    vector<int> start;      // 开始的节点
    vector<int> end;        // 结束的节点
    int res= 0, count = 0;  // 最大的重叠数, 当前重叠数
public:
    int minMeetingRooms(vector<vector<int>>& intervals) {
        int n = intervals.size();
        for (auto& interval : intervals) {
            start.push_back(interval[0]);
            end.push_back(interval[1]);
        }
        // 添加并排序
        sort(start.begin(), start.end());
        sort(end.begin(), end.end());
        // 开始遍历, start 起点肯定先遍历完
        int i = 0, j = 0;
        while (i < n) {
            if (start[i] < end[j]) {    // 找到开始点
                count++;
                i++;
            } else {                    // 找到结束点, 或重合点, 重叠数都会减
                count--;
                j++;
            }
            res = max(res, count);
        }
        return res;
    }
};

435. 无重叠区间 [区间数组] [重叠] (贪心)

class Solution {
private:
    int count = 0;          // 记录区间的数量
    int cur_end = INT_MIN;        // 记录当前区间结束的时间
public:
    int eraseOverlapIntervals(vector<vector<int>>& intervals) {
        sort(intervals.begin(), intervals.end(), [](vector<int>& a, vector<int>& b) {
            return a[1] < b[1];
        });
        // 开始一个个遍历
        for (auto& interval : intervals) {
            int start = interval[0], end = interval[1];
            // 需要移除区间
            if (start < cur_end) {
                count++;
                continue;
            }
            cur_end = end;
        }
        return count;
    }
};

452. 用最少数量的箭引爆气球 [区间数组] [重叠] (贪心)

class Solution {
private:
    int res = 0;        // 需要射的最少的箭数
    long cur_end = LONG_MIN;
public:
    int findMinArrowShots(vector<vector<int>>& points) {
        // 按 end 排序
        sort (points.begin(), points.end(), [](vector<int>& a, vector<int>& b) {
            return a[1] < b[1];
        });
        // 开始一个个遍历
        for (auto& point : points) {
            int start = point[0], end = point[1];
            // 碰到重叠区域, 这题擦边也可以射气球
            if (start <= cur_end) continue;
            // 没碰到重叠区域
            res++;
            cur_end = end;
        }
        return res;
    }
};

1024. 视频拼接 [区间数组] [重叠] (贪心)

// 从 0 开始拼接, 之后在与当前区间重叠的区间中选 end 最大的区间
class Solution {
private:
    int res = 0;    // 需要的视频数
public:
    int videoStitching(vector<vector<int>>& clips, int time) {
        int n = clips.size();
        sort(clips.begin(), clips.end(), [](vector<int>& a, vector<int>& b) {
            if (a[0] == b[0]) return a[1] > b[1];
            return a[0] < b[0];
        });
        if (clips[0][0] != 0) return -1;
        if (n == 1 && clips[0][1] != time) return -1;
        // 开始遍历
        int cur_end = 0, next_end = 0;          // 当前 end, 下一个临时 end
        int i = 0;                              // 第 i 个视频
        while (i < n && clips[i][0] <= cur_end) {
            // 找下一个有重复区间的视频
            while (i < n && clips[i][0] <= cur_end) {
                // 选这两个符合条件的其中的最大 end 值
                next_end = max(next_end, clips[i][1]);
                i++;
            }
            // 此时已经找到合适的视频了
            res++;
            cur_end = next_end;
            if (cur_end >= time) return res;
        }
        // 找不到
        return -1;
    }
};

跳跃

45. 跳跃游戏II [数组] [跳跃] (贪心)

class Solution {
public:
    int jump(vector<int>& nums) {
        int n = nums.size();
        int end = 0;                // 当前可以跳的位置 [1, 2, 3]
        int jump = 0;               // 跳的次数
        int far = 0;                // 可以跳的最远的距离
        // 开始跳
        for (int i = 0; i < n - 1; ++i) {
            far = max(far, i + nums[i]);        // 可以跳的最远距离
            if (i == end) {                     // 到达最远距离后, 获取下一次最远距离
                jump++;
                end = far;
            }
        }
        return jump;
    }
};

55. 跳跃游戏 [数组] [跳跃] (贪心)

// 每一步都往最远了跳
class Solution {
public:
    bool canJump(vector<int>& nums) {
        int n = nums.size();
        int far = 0;        // 最远跳的距离
        for (int i = 0; i < n - 1; ++i) {
            far = max(far, i + nums[i]);
            if (far <= i) return false;
        }
        // 判断能跳过去不
        if (far < n - 1) return false;
        return true;
    }
};