高中奥数 2021-06-09

2021-06-09-01

（本题来源：数学奥林匹克小丛书 第二版 集合的运算 刘诗雄 集合的分划 P41 习题3）

设集合,.求证:在或中存在三个元素,使得.

解

用反证法.

假设结论不成立.不妨设,则1、9不同时属于.

若,,则,与矛盾.

若,,则,与矛盾.

若,当,与矛盾;当,矛盾.

2021-06-09-02

（本题来源：数学奥林匹克小丛书 第二版 集合的运算 刘诗雄 集合的分划 P41 习题5）

试证:对于每个大于的整数,都能找到一个最小的整数,使在集合分成组的任何分划中,都存在整数,使数含于分划的同一组中.

证明

考虑将分成组的任一分划.在这个数中,必有两个数和属于同一组,不妨设.令,则在同一组中.由此可见,.

另一方面,考察的如下分划:,,,,.显然,,,不能同在中.
设它们都在中,于是只能是.从而有.这样一来,,矛盾.而且由证明可知,当时,都不能满足要求.综上可知,.

2021-06-09-03

（本题来源：数学奥林匹克小丛书 第二版 集合的运算 刘诗雄 集合的分划 P41 习题6）

已知整个空间被分成互不相交的5个非空集合,求证:必有一个平面,它至少与其中的4个集合有公共点.

证明

用反证法.

假设任何一个平面至多与其中的3个集合相交,在5个集合中各取1点，5点分别为、、、、,则其中任何4点都不共面,因而其中任何3点都不共线.

考察以为公共交线的3个平面、和,不难看出,其中必有一个平面,使得另两点分别属于该平面将空间分成的两个半空间中.

不妨设点和分别位于平面的两侧、从而直线与平面相交,记交点为.

由于、、3点分属于3个集合,面平面只与3个集合相交,所以点属于点、、所在的3个集合之一,不妨设与属于同一个集合这样一来,4点、、、所决定的平面便与4个集合相交,矛盾.