代数系统

前言：本篇博客主要学习代数系统的基础知识

0X00 大纲

大纲如上，为了学习代数系统我们得先学一点基础知识

0X01 「二元运算」与「一元运算」及性质

二元运算基本概念

给出二元运算的定义：

设 为集合，函数 称为 S 上的二元运算，简称为二元运算

这样很抽象，我们举个例子：

就是一个简单二元运算，我们再举个反例：

普通的减法就不是自然数集 N 上的二元运算，原因减法会产生负数，不属于 不满足定义，这时也称 N 对减法运算不封闭，反之 N 对加法运算就是封闭的

一元运算基本概念

给出定义：

设 为集合，函数 称为 S 上的一元运算，简称为一元运算

如果能够理解二元运算，那么一元运算理解起来更简单，举个简单的例子：

就是一个简单一元运算

二元运算的性质

假设我们定义一个二元运算的符号

对于一个二元运算符号，我们可以定义它的运算性质：

设 为 S 上的二元运算，如果对于任意的 ，都有：

• 交换律

如果：

说明满足交换律

• 结合律

如果：

说明满足结合律

• 幂等率

如果：

说明满足幂等率，这个性质可能很抽象，我举个例子：

对于集合 A 来说：

• 分配率

设 是另一个运算符号，如果：

称运算 对 是适合分配率

• 吸收率

设 是另一个运算符号，如果：

则称 和 满足吸收率

这个也很抽象，我举个例子，假设集合 A、B，则有：

则 满足吸收率

• 消去律

如果：

其中 是零元，则称 满足消去律

0X02 代数系统的引入

学习完基础知识以后，我们正式进入代数系统的学习，首先给出定义：

非空集合 S 和 S 上 k 个一元或二元运算， 组成的系统统称作一个代数系统 ，记做

例如：

都是代数系统，其中的符号分别是，普通的加法与普通的乘法

通常为了强调代数系统中代数常数，我们会把这个代数常数列在代数系统的表达式中。例如：将 记做

如果两个代数系统中运算的个数相同，对应运算的元术相同，且代数常数的个数也相同，则称它们是同类型的代数系统