动态规划(5)路径问题——不同路径

一、题目解析

题目还是很简单的，大家一看就懂了，我就不多bb了，直接算法原理。 

二、算法原理

1、状态表示：

我们先来分析一个状态表示，题目问我们什么？它问我们从m * n网格的左上角出发，到达m * n位置一共有多少条路径，那么我们直接就根据题目要求定义一个状态表示。

dp[i][j]表示:到达[i][j]位置一共有多少条路径。

2、状态转移方程：

题目说我们只能向下或者向右走一步，因此我们如果要到达[i][j]位置我们只可能从[i-1][j]和[i][j-1]这两个位置走一步到达[i][j]位置，这个没问题吧？也就是说如果我知道有多少条路径可以到达[i-1][j]，那么在这每一种路径后面在走上一步是不是就到达[i-1][j]了呢？那么我们怎么知道呢？不就是在dp[i-1][j]里面存着吗？同理，到达[i][j-1]的路径也在dp[i][j-1]里面存着。因此我们就可以推出状态转移方程了。

dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1]

3、初始化

接下来我们考虑一下初始化的问题。我们初始化的时候是要用到到上面一个位置和左面一个位置的状态，因此这里初始化的时候，我们可以多加一行，多加一列。这种初始化方式是非常好用的，很多动态规划的题目都会用到这种初始化方式。但是仅仅多加一行多加一列就可以了吗？当然不是，我们还要考虑我们在起点的时候，到达起点有多少条路径呢？是不是就一条呀？自己到达自己呀，因此，我们要只需要将起始位置左边的状态或者上面的状态初始化为1。其它位置初始化为0即可。

4、填表：

填表的顺序大方向是从上往下填表，每一行是从左往右填表。

5、返回结果

因为我们多加了一行多加了一列，因此我们返回dp[m][n]即可。

三、编写代码

希望大家可以先根据算法原理自己尝试编写一下代码，一定要自己尝试一下。

62. 不同路径 - 力扣（LeetCode）

class Solution 
{
public:
    int uniquePaths(int m, int n) 
    {
        //1、创建一个dp表
        vector> dp(m + 1, vector(n + 1));
        //2、初始化
        dp[0][1] = 1;  //dp[1][0] = 1;这样初始化也可以
        //3、填表
        for(int i = 1; i <= m; i++)
        {
            for(int j = 1; j <= n; j++)
            {
                dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1];
            }
        }
        //4、返回结果
        return dp[m][n];
    }
};