常系数微分方程组的V函数构造定理的解释

这是王高雄里的常微分方程里的二次型V函数的构造…一节的定理，

定正矩阵，这个书里没注意到在哪，不过在高等代数中就是正定矩阵的意思，

第二个划线部分矩阵里的微分运算，也是没见过的，

看起来很有意思，但是原因呢？

之前在证明刘维尔公式的时候有行列式求导运算，现在又有矩阵求导，

其实没有特别的理由，就当作是一般的函数乘积求导而已，不过对于矩阵，只需要看作是n^2维向量值函数而已，然后按照数学分析中的多元函数微分即可。

把A*'B*+BA=C展开，如何得到书上的关系式。B由于B是对称矩阵，B=U’BU也是对称的，C由于C是对称矩阵，C=U’CU也是对称的。只有A*是A的相似矩阵。

首先看书上c1j就是说是第一行第j列。即是求(A^{T)B(1j)元为A*}T第一行乘以B的第j列，加上BA*(1j)元为B的第一行乘以A的第j列。
(λ1,0…,0)(b1j, b2j,…,bnj)’ + (b11, b12,…,b1n)(0,0,…,dj,λj,…,0)’=c1j。 所以 λ1b1j + b1(j-1)dj+b1jλj=c1j。 这里(0,0,…,dj,λj,…,0)'dj的位置在矩阵A中为(j-1, j) λj的位置为(j,j)。

所以有(λ1+λj)b1j+dj*b(j-1)=c1j。 注意我这里跟书上的是一样的，只是写法不同，书上是为了区分之前的矩阵，而我是为了简化写法。

然后考虑c2j，
求(A*^{T)B(2j)元为A*}T第2行乘以B的第j列