立体几何之目：2017年文数全国卷B题18

2017年文数全国卷B题18（12分）

如图，四棱锥 中，侧面 为等边三角形且垂直于底面 ，，

（1）证明∶直线 // 平面 ;

（2）若 的面积为 ，求四棱锥 的体积.

2017年文科数学全国卷B

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【解答第1问】

∵ , ∴ , 又∵ 平面 , ∴ 直线 // 平面 .

证明完毕.

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2017年文数全国卷B题18

【解答第2问】

作 中点 ，并连接 .

∵ , ,

∴ 是正方形，

底面ABCD

∵ 是等边三角形，∴ ,

∵ 为等边三角形, , ∴

又∵ 侧面 垂直于底面 , ∴ 面 , ∴

∵ , , , 是公共边，

∴

∴

等腰三角形PAD

作 中点 并连接 , 则

∵ , ∴ .

∴ ,

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【提炼与提高】

本题中，四棱锥的底面是一个梯形。但深入分析后，我们发现： 是一个等腰直角三角形， 是正三角形，而且这两个侧面是相互垂直的。所以，四面体 与2007年文数海南卷中的模型完全一致，也就是我们自命名的 『常用四面体I』。

注意以下三角形：. 这三个全等的直角三角形构成了四面体 的骨架。

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