基于饥饿博弈搜索算法的函数寻优算法

一、理论基础

在本章中，详细描述了提出的饥饿博弈搜索(Hunger games search, HGS)算法的数学模型。请注意，我们必须根据饥饿驱动的活动和行为选择建立一个数学模型，该模型应尽可能简单，同时也是最有效的表现。

1、饥饿博弈搜索算法

（1）接近食物

为了用数学公式表示其接近行为，使用以下公式模拟收缩模式：$$X(t+1)=\{\begin{array}{l}X(t)\cdot \left(1+randn(1)\right),r_1<l\\ W_1\cdot X_b+R\cdot W_2\cdot |X_b-X(t)|,r_1>l,r_2>E\\ W_1\cdot X_b-R\cdot W_2\cdot |X_b-X(t)|,r_1>l,r_2<E\end{array}\text{\hspace{1em}(1)}$$其中，$R$是介于$[-a,a]$的随机数；$r_1$和$r_2$均为$[0,1]$之间的随机数；$randn(1)$是满足标准正态分布的随机数；$t$为当前迭代次数；$W_1$和$W_2$表示饥饿权重；$X_b$表示全局最优位置；$X(t)$表示当前个体位置；$l$是设置的常数。
$E$的计算公式如下：$$E=\text{sech}(|F(i)-BF|)\text{\hspace{1em}(2)}$$其中，$i\in 1,2,\cdots ,N$，$F(i)$第$i$个个体的适应度值；$BF$是当前最优适应度值。$\text{sech}$是一个双曲函数，$\text{sech}(x)=\frac{2}{e^x+e^{-x}}$。
$R$的计算公式如下：$$R=2\times a\times rand-a\text{\hspace{1em}(3)}$$$$a=2\times (1-\frac{t}{Max\_iter})\text{\hspace{1em}(4)}$$其中，$rand$为$[0,1]$之间的随机数；$Max\_iter$表示最大迭代次数。

（2）饥饿角色

对搜索中个体的饥饿特征进行了数学模拟。
$W_1$的计算如式(5)所示：$$W_1^i=\{\begin{array}{l}hungry(i)\cdot \frac{N}{SHungry}\times r_4,r_3<l\\ 1,r_3>l\end{array}\text{\hspace{1em}(5)}$$W_2的计算如式(6)所示：$$W_2^i=\left(1-\exp (-|hungry(i)-SHunrgy|)\right)\times r_5\times 2\text{\hspace{1em}(6)}$$其中，$hungry$表示每个个体的饥饿程度；$N$表示所有个体的总数；$SHungry$表示所有个体饥饿程度的总和，即$sum(hungry)$；$r_3,r_4$和$r_5$均为$[0,1]$之间的随机数。
$hungry(i)$计算如下：$$hungry(i)=\{\begin{array}{l}0,AllFitness(i)==BF\\ hungry(i)+H,AllFitness(i)\ne BF\end{array}\text{\hspace{1em}(7)}$$其中，$AllFitness(i)$表示每个个体的适应度值。
$H$计算如下：$$TH=\frac{F(i)-BF}{WF-BF}\times r_6\times 2\times (UB-LB)\text{\hspace{1em}(8)}$$$$H=\{\begin{array}{l}LH\times (1+r),TH<LH\\ TH,TH\ge LH\end{array}\text{\hspace{1em}(9)}$$其中，$r_6$为$[0,1]$之间的随机数；$F(i)$为每个个体的适应度值；$BF$为当前最优适应度值；$WF$为当前最差适应度值；$UB$和$LB$分别表示搜索空间的上限和下限；$LH$为$H$的下界。

2、算法伪代码

HGS算法伪代码如图1所示。

图1 HGS算法伪代码

二、实验及分析

以文献[1]中的F1、F2(单峰函数/30维)、F9、F10(多峰函数/30维)、F16、F17(固定维度的多峰函数/2维)为例，将HGS算法分别与花授粉算法(FPA)、鲸鱼优化算法(WOA)、飞蛾火焰优化算法(MFO)、正弦余弦算法(SCA)以及灰狼优化算法(GWO)进行对比，设置种群规模为30，最大迭代次数为1000，每个算法独立运行30次。HGS中设置$l=0.03$、$LH=100$。
结果显示如下：

函数：F1
FPA：最差值: 0.37143,最优值:0.051982,平均值:0.17557,标准差:0.075872
WOA：最差值: 9.0799e-152,最优值:4.1248e-169,平均值:3.5901e-153,标准差:1.6578e-152
MFO：最差值: 20000,最优值:1.4307e-05,平均值:2666.6672,标准差:5208.3044
SCA：最差值: 0.21401,最优值:2.2612e-07,平均值:0.018106,标准差:0.053456
GWO：最差值: 1.7613e-58,最优值:1.0784e-61,平均值:2.9179e-59,标准差:4.5517e-59
HGS：最差值: 9.7144e-227,最优值:1.0951e-266,平均值:3.7625e-228,标准差:0
函数：F2
FPA：最差值: 0.67052,最优值:0.25951,平均值:0.43488,标准差:0.1091
WOA：最差值: 1.0844e-103,最优值:4.8097e-112,平均值:9.0573e-105,标准差:2.6323e-104
MFO：最差值: 80,最优值:0.00059191,平均值:38.6657,标准差:22.704
SCA：最差值: 0.0001082,最优值:4.5564e-08,平均值:9.7311e-06,标准差:2.0091e-05
GWO：最差值: 6.0477e-34,最优值:6.5351e-36,平均值:1.2765e-34,标准差:1.3477e-34
HGS：最差值: 1.7403e-116,最优值:1.4912e-142,平均值:9.8321e-118,标准差:3.4852e-117
函数：F9
FPA：最差值: 141.9644,最优值:82.7476,平均值:113.3436,标准差:12.5937
WOA：最差值: 5.6843e-14,最优值:0,平均值:1.8948e-15,标准差:1.0378e-14
MFO：最差值: 250.1599,最优值:104.5414,平均值:172.0961,标准差:33.5805
SCA：最差值: 116.2791,最优值:1.1251e-05,平均值:17.9381,标准差:27.6715
GWO：最差值: 7.5422,最优值:0,平均值:0.50163,标准差:1.6412
HGS：最差值: 0,最优值:0,平均值:0,标准差:0
函数：F10
FPA：最差值: 15.3991,最优值:0.18265,平均值:5.3648,标准差:4.3423
WOA：最差值: 7.9936e-15,最优值:8.8818e-16,平均值:4.4409e-15,标准差:2.4685e-15
MFO：最差值: 19.9613,最优值:0.0018039,平均值:12.2932,标准差:7.8713
SCA：最差值: 20.3029,最优值:0.00012705,平均值:12.5608,标准差:9.6735
GWO：最差值: 2.2204e-14,最优值:1.1546e-14,平均值:1.6046e-14,标准差:2.7886e-15
HGS：最差值: 8.8818e-16,最优值:8.8818e-16,平均值:8.8818e-16,标准差:0
函数：F16
FPA：最差值: -1.0316,最优值:-1.0316,平均值:-1.0316,标准差:6.3208e-16
WOA：最差值: -1.0316,最优值:-1.0316,平均值:-1.0316,标准差:2.7538e-11
MFO：最差值: -1.0316,最优值:-1.0316,平均值:-1.0316,标准差:6.7752e-16
SCA：最差值: -1.0315,最优值:-1.0316,平均值:-1.0316,标准差:1.8779e-05
GWO：最差值: -1.0316,最优值:-1.0316,平均值:-1.0316,标准差:6.6161e-09
HGS：最差值: -1.0316,最优值:-1.0316,平均值:-1.0316,标准差:6.7752e-16
函数：F17
FPA：最差值: 0.39789,最优值:0.39789,平均值:0.39789,标准差:0
WOA：最差值: 0.39789,最优值:0.39789,平均值:0.39789,标准差:1.2986e-06
MFO：最差值: 0.39789,最优值:0.39789,平均值:0.39789,标准差:0
SCA：最差值: 0.39984,最优值:0.39792,平均值:0.39853,标准差:0.00056102
GWO：最差值: 0.39789,最优值:0.39789,平均值:0.39789,标准差:2.133e-07
HGS：最差值: 0.39789,最优值:0.39789,平均值:0.39789,标准差:0

结果表明，HGS算法具有更快的收敛速度、更高的收敛精度以及更好的寻优能力。

三、参考文献

[1] Yutao Yang, Huiling Chen, Ali Asghar Heidari, Amir H Gandomi. Hunger Games Search: Visions, Conception, Implementation, Deep Analysis, Perspectives, and Towards Performance Shifts[J]. Expert Systems with Applications, 2021, 177: 114864.