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小学奥数必做的30道行程问题
2022-04-04 19:00:00
奥数网
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行程问题核心公式：S=V×T，因此总结如下：
当路程一定时，速度和时间成反比
当速度一定时，路程和时间成正比
当时间一定时，路程和速度成正比
从上述总结衍伸出来的很多总结如下：
追击问题：路程差÷速度差=时间
相遇问题：路程和÷速度和=时间
流水问题：顺水速度=船速+水流速度；
逆水速度=船速-水流速度
水流速度=（顺水速度-逆水速度）÷2
船速=（顺水速度-逆水速度）×2
两岸问题：S=3A-B，两次相遇相隔距离=2×(A-B)
电梯问题：S=（人与电梯的合速度）×时间
平均速度：V平=2（V1×V2）÷（V1+V2）
1、邮递员早晨7时出发送一份邮件到对面的山坳里，从邮局开始要走12千米的上坡路，8千米的下坡路。他上坡时每小时走4千米，下坡时每小时走5千米，到达目的地后停留1小时，又从原路返回，邮递员什么时候可以回到邮局？
【解析】
核心公式：时间=路程÷速度
去时：T=12/4+8/5=4.6小时
返回：T’=8/4+12/5=4.4小时
T总=4.6+4.4+1=10小时
7：00+10：00=17：00
整体思考：
全程共计：12+8=20千米
去时的上坡变成返回时的下坡，去时的下坡变成返回时的上坡
因此来回走的时间为：20/4+20/5=9小时
所以总的时间为：9+1=10小时
7：00+10：00=17：00
2、小明从甲地到乙地，去时每小时走6千米，回时每小时走9千米，来回共用5小时。小明来回共走了多少千米？
【解析】
当路程一定时，速度和时间成反比
速度比=6：9=2：3
时间比=3：2
3+2=5小时，正好
S=6×3=18千米
来回为18×2=36千米
3、A、B两城相距240千米，一辆汽车原计划用6小时从A城开到B城，汽车行驶了一半路程，因故在途中停留了30分钟。如果按照原定的时间到达B城，汽车在后半段路程速度应该加快多少？
【解析】
核心公式：速度=路程÷时间
前半程开了3小时，因故障停留30分钟，因此接下来的路程需要2.5小时来完成
V=120÷2.5=48千米/小时
原V=240/6=40千米/小时
所以需要加快：48-40=8千米/小时
4、甲、乙两车都从A地出发经过B地驶往C地，A，B两地的距离等于B，C两地的距离.乙车的速度是甲车速度的80%.已知乙车比甲车早出发11分钟，但在B地停留了7分钟，甲车则不停地驶往C地.最后乙车比甲车迟4分钟到C地.那么乙车出发后几分钟时，甲车就超过乙车。
【解析】
11-7=4分钟
甲乙车的速度比=1：0.8=5：4
甲乙行的时间比=4：5=16：20
所以是在乙车出发后的16+11=27分钟追上甲车
5、铁路旁的一条平行小路上，有一行人与一骑车人同时向南行进。行人速度为3.6千米/小时，骑车人速度为10.8千米/小时。这时有一列火车从他们背后开过来，火车通过行人用22秒，通过骑车人用26秒。这列火车的车身总长是多少米？
【解析】
S=（V火车-V人）×时间=（V火车-V车）×时间
V人=3.6千米/小时=1米/秒
V车=10.8千米/小时=3米/秒
S=（V火车-1）×22=（V火车-3）×26
S=286米
或者
合时间比=22：26=11：13
合速度比=13：11
V人：V车=1：3
（14-1）：（14-3）=13：11
所以V火车=14米/秒
S=（14-1）×22=286米
6、小刚和小强租一条小船，向上游划去，不慎把水壶掉进江中，当他们发现并调过船头时，水壶与船已经相距2千米，假定小船的速度是每小时4千米，水流速度是每小时2千米，那么他们追上水壶需要多少时间？
【解析】
我们来分析一下，全程分成两部分，第一部分是水壶掉入水中，第二部分是追水壶
第一部分，水壶的速度=V水，小船的总速度则是=V船+V水
那么水壶和小船的合速度就是V船，所以相距2千米的时间就是：2/4=0.5小时
第二部分，水壶的速度=V水，小船的总速度则是=V船-V水
那么水壶和小船的合速度还是V船，所以小船追上水壶的时间还是：2/4=0.5小时
7、甲、乙两船在静水中速度
分别为每小时24千米和每小时32千米，两船从某河相距336千米的两港同时出发相向而行，几小时相遇？如果同向而行，甲船在前，乙船在后，几小时后乙船追上甲船？
【解析】
时间=路程和÷速度和
T=336÷（24+32）=6小时
时间=路程差÷速度差
T=336÷（32-24）=42小时
8、甲、乙两港间的水路长208千米，一只船从甲港开往乙港，顺水8小时到达，从乙港返回甲港，逆水13小时到达，求船在静水中的速度和水流速度。
【解析】
流水问题：顺水速度=船速+水流速度；逆水速度=船速-水流速度
水流速度=（顺水速度-逆水速度）÷2
船速=（顺水速度-逆水速度）×2
V顺=208÷8=26千米/小时
V逆=208÷13=16千米/小时
V船=（26+16）÷2=21千米/小时
V水=（26-16）÷2=5千米/小时
9、小明早上从家步行去学校，走完一半路程时，爸爸发现小明的数学书丢在家里，随即骑车去给小明送书，追上时，小明还有3/10的路程未走完，小明随即上了爸爸的车，由爸爸送往学校，这样小明比独自步行提早5分钟到校.小明从家到学校全部步行需要多少时间？
【解析】
小明走1/2-3/10=2/10的路程，爸爸走了7/10的路程
因此小明的速度：自行车的速度=2/10：7/10=2：7
因此时间比就是7：2
7-2=5份，对应5分钟
所以小明步行剩下的3/10需要7分钟
那么小明步行全程需要：7/3/10=70/3分钟
10、一只狗追赶一只野兔,狗跳5次的时间兔子能跳6次,狗跳4次的距离与兔子7次的距离相等.兔子跳出550米后狗子才开始追赶.问狗跳了多远才能追上兔子?
【解析】
狗跳5次的时间=兔子跳6次的时间→狗跳20次的时间=兔子跳24次的时间
狗跳4次的路程=兔子跳7次的路程→狗跳20次的路程=兔子跳35次的路程
综上得到V狗：V兔=35：24
当时间一定时，路程和速度成正比
S狗：S兔= V狗：V兔=35：24=1750：1200
因此狗只需要跑1750米即可
11、主人追他的狗,狗跑三步的时间主人跑两步,但主人的一步是狗的两步.狗跑出10步后,主人开始追,主人跑出了多少步才追上狗?
【解析】
主人跑2步的时间=狗跑3步的时间→主人跑2步的时间=狗跑3步的时间
主人跑1步的路程=狗跑2步的路程→主人跑2步的路程=狗跑4步的路程
综上得到主人跑2步可以追上狗4-3=1步
现在狗比主人多跑了10步
所以主人要跑20步
12、某人从甲地前往乙地办事，去时有2/3的路程乘大客车，1/3的路程乘小汽车；返回时乘小汽车与大客车行的时间相同，返回比去时少用了5小时，已知大客车每小时行24千米，小汽车每小时行72千米，甲地到乙地的路程、是多少千米？
【解析】
当时间一定时，路程和速度成正比
返回：时间一定，路程比=速度比=24：72=1：3=3：9
去时：路程比=2：1=8：4
返回的时间：3/24+9/72=1/4
去时的时间：8/24+4/72=7/18
7/18-1/4=5/36，对应5小时
12对应5×12÷5/36=432千米
13、某工厂每天派小汽车于上午8时准时到总工程师家接他到工厂上班，有一天早晨总工程师临时决定提前回工厂办事，匆匆从家步行出发，途中遇到接他的小汽车，立即上车到工厂，结果比平时早40分钟到达。总工程师上车时是几时几分？
【解析】
A-------B----------------C
AB段汽车开一个来回需要40分钟，所以AB段汽车开需要20分钟
汽车是8点钟准时到A点，所以工程师上车是在8：00-0：20=7：40
14、小明从家去体育馆看球赛.去时他步行5分钟后，跑步8分钟，到达体育馆。回来时，他先步行10分钟后，开始跑步，结果比去时多用了3分15秒钟回到家.他跑步的速度与步行的速度比是多少？
【解析】
去时的时间：5+8=13分钟
回来的时间：13+3.25=16.25分钟
去时步行时间：5分钟，回来步行时间：10分钟
去时跑步时间：8分钟，回来跑步时间：6.25分钟
跑步与步行的时间比为（8-6.25）：（10-5）=1.75：5
速度比就是5：1.75=20：7
15、B在A，C两地之间，甲从B地到A地去送信，出发10分钟后，乙从B地出发去送另一封信。乙出发后10分钟，丙发现甲乙刚好把两封信拿颠倒了，于是他从B地出发骑车去追赶甲和乙，以便把信调过来.已知甲、乙的速度相等，丙的速度是甲、乙速度的3倍，丙从出发到把信调过来后返回B地至少要用多少时间？
【解析】
A-----------B------------C
分成如下几个部分：
先追上乙，把信取到手并返回B点。用时1：3=10：30，就是10分钟
再追上甲，把信交给甲并把信取到手并返回B点。用时1：3=30：90，就是30分钟
再追上乙，把信交给乙并返回B点。用时1：3=50：150，就是50分钟
总共用时：10+30+50=90分钟
16、甲放学回家需走10分钟，乙放学回家需走14分钟.已知乙回家的路程比甲回家的路程多1/6，甲每分钟比乙多走12米，那么乙回家的路程是几米？
【解析】
甲乙路程比1：7/6=6：7
甲乙时间比10：14=5：7
甲乙速度比6/5：7/7=6：5=72：60
所以乙的路程=60×14=840米
17、在400米环形跑道上,A、B两点相距100米(如图)。甲、乙两人分别从A、B两点同时出发,按逆时针方向跑步。甲每秒跑5米,乙每秒跑4米,每人每跑100米,都要停10秒钟.那么,甲追上乙需要的时间是秒。
【解析】
甲每秒跑5米，则跑100米需要100/5=20秒，连同休息的10秒，共需要30秒
乙每秒跑4米，则跑100米需要100/4=25秒，连同休息的10秒，共需要35秒
35秒时，乙跑100米，甲跑100+5×5=125米
因此，每35秒，追上25米，所以甲追上乙需要35×4=140秒
18、小明从家去学校，如果他每小时比原来多走1.5千米，他走这段路只需原来时间的4/5；如果他每小时比原来少走1.5千米，那么他走这段路的时间就比原来时间多几分几之？
【解析】
原时间：现时间=5：4
原速度：现速度=4：5=6：7.5
现速度=6-1.5=4.5
原速度：现时间=6：4.5
原时间：现时间=4.5：6
（6-4.5）/4.5=1/3
19、甲、乙两列火车的速度比是5：4.乙车先发，从B站开往A站，当走到离B站72千米的地方时，甲车从A站发车往B站，两列火车相遇的地方离A，B两站距离的比是3：4，那么A，B两站之间的距离为多少千米？
【解析】
A---------N---------M-----B
3 4 72千米
速度比=路程比=5：4=15：12
路程比=3：4=15：20
20-12=8份对应72千米
全程=（15+20）×72÷8=315千米
20、已知小明与小强步行的速度比是2：3，小强与小刚步行的速度比是4：5.已知小刚10分钟比小明多走420米，那么小明在20分钟里比小强少走几米？
【解析】
小明：小强：小刚=8：12：15=48：72：90
（72-48）×20=480米
21、甲、乙二人在400米的圆形跑道上进行10000米比赛.两人从起点同时同向出发，开始时甲的速度为8米/秒，乙的速度为6米/秒，当甲每次追上乙以后，甲的速度每秒减少2米，乙的速度每秒减少0.5米.这样下去，直到甲发现乙第一次从后面追上自己开始，两人都把自己的速度每秒增加0.5米，直到终点.那么领先者到达终点时，另一人距离终点多少米？
【解析】
第一次甲追上乙，400÷（8-6）=200秒，S甲=200×8=1600米，S乙=200×6=1200米
第二次甲速度变成6，乙速度变成5.5，400÷（6-5.5）=800秒
S甲=800×6+1600=6400米，S乙=800×5.5+1200=5600米
第三次甲速度变成4，乙速度变成5，400÷（5-4）=400秒
S甲=400×4+6400=8000米，S乙=400×5+5600=7600米
第四次开始，甲速度变成4.5，乙速度变成5.5，400÷（5.5-4.5）=400秒
S甲=400×4.5+8000=9800米，S乙=400×5.5+7600=9800米
9800＜1000，因此乙先到达终点。
乙跑到终点时，甲还剩下：200×（5.5-4.5）÷5.5=400/11米
22、一支解放军部队从驻地乘车赶往某地抗洪抢险，如果将车速比原来提高1/9，就可比预定的时间20分钟赶到；如果先按原速度行驶72千米，再将车速比原来提高1/3，就可比预定的时间提前30分钟赶到。这支解放军部队的行程是多少千米？
【解析】
速度比=9：10，时间比=10：9=10/3：3
速度比=3：4 ，时间比=4：3=2：1.5
因此，按照原速度行驶72千米需要10/3-2=4/3小时
S=72×10/3÷4/3=180千米
23、甲、乙两人同时从山脚开始爬山，到达山顶后就立即下山.他们两人下山的速度都是各自上山速度的2倍。甲到山顶时，乙距山顶还有400米，甲回到山脚时，乙刚好下到半山腰。求从山顶到山脚的距离。
【解析】
甲到山脚时，乙到半山腰→甲走1.5个上坡，乙走1.25个上坡
时间一定，路程比=速度比=1.5：1.25=6：5=2400：2000
因此山的高度为：2400米
24、甲、乙两车分别从A，B两地同时相向开出，四小时后两车相遇，然后各自继续行驶三小时，此时甲车距B地10千米，乙车距A地80千米.问甲车到达B地时乙车还要经过多少小时才能到达A地？
【解析】
整体考虑
总共行了7个小时，甲车比乙车多行80-10=70千米，因此甲车每小时比乙车多行10千米
4小时乙行的路程=3小时甲行的路程+10
乙=40千米/小时，甲=50千米/小时
T=80/40-10/50=1.8小时
25、从家里骑摩托车到火车站赶乘火车.如果每小时行30千米，那么早到15分钟；如果每小时行20千米，则迟到5分钟.如果打算提前5分钟到，那么摩托车的速度应是多少？
【解析】
S=30×（T-15/60）=20×（T+5/60）
15+5=20分钟
速度比=30：20=3：2
时间比=2：3=40：60
正好需要：40+15=55分钟
提前5分钟：55-5=50分钟
时速=30×40÷50=24千米/小时
26、同样走100米，小明要走180步，父亲要走120步.父子同时同方向从同一地点出发，如果每走一步所用的时间相同，那么父亲走出450米后往回走，还要走多少步才能遇到小明？
【解析】
父亲走450米，走了450×120÷100=540步
小明走540步，走了540÷180×100=300米
两人相差450-300=150米
150÷（100/120+100/180）=108步
27、小明从家到学校时，前一半路程步行后一半路程乘车，从学校回家时，前1/3时间乘车，后2/3时间步行，结果去学校的时间比回家所用的时间多2小时，已知小明步行的速度为每小时5千米，乘车速度为每小时15千米，那么小明从家到学校的路程是（ ）千米？
【解析】
回家乘车和步行的路程比是1/3×15：2/3×5=3：2
所以回家乘车的路程是3/5
3/5-1/2=1/10，对应15千米/小时行驶1小时或5千米/小时行驶3小时
S=15/1/10=150千米
或者
去时，路程比=1：1=5：5，速度比=5：15，时间比=1/5：1/15
返回，时间比=2：1，速度比=5：15，路程比=2×5：1×15=2：3=4：6
所以去时的时间=5/5+5/15=4/3，返回的时间=4/5+6/15=6/5
4/3-6/5=2/15，对应2小时
全程=10×2/2/15=150千米
28、A、B两地相距207千米，甲、乙两车8：00同时从A地出发到B地，速度分别为60千米/小时，54千米/小时，丙车8：30从B地出发到A地，速度为48千米/小时。丙车与甲、乙两车距离相等时是几点几分？
【解析】
假设丙也是从8点出发，到达B点时正好是8：30
那么丙走的路程就是：0.5×48=24千米，那么全程就变成：207+24=231千米
丙车与甲、乙两车的距离，可以看成甲乙的平均速度与丙相遇 （*）
V平=（V甲+V乙）÷2=57千米/小时
T=231÷（V平+V丙）=231÷（57+48）=2.2小时=2小时=12分
所以这时是：8：00+2：12=10：12分
29、小明通常总是步行上学，有一天他想锻炼身体，前1/3路程快跑，速度是步行速度的4倍，后一段的路程慢跑，速度是步行速度的2倍.这样小明比平时早35分到校，小明步行上学需要多少分钟？
【解析】
这天，路程比=1：2，速度比=4：2，时间比=1/4：2/2，时间=1/4+1=5/4
平时，时间=3/1=3
3-5/4=7/4对应35分
平时用时=35×3÷7/4=60分钟
30、红光农场原定9时来车接601班同学去劳动，为了争取时间，8时同学们就从学校步行向农场出发，在途中遇到准时来接他们的汽车，于是乘车去农场，这样比原定时间早到12分钟。汽车每小时行48千米，同学们步行的速度是每小时几千米？
【解析】
A------B--------------------C
8点钟，同学们从A点出发，到B点遇到来接他们的车
汽车来回AB需要12分钟，那么走一趟AB需要6分钟
而人走AB需要：60-6=54分钟
时间比=速度比的反比，54：6=48：48/9
所以同学步行的速度是16/3千米/小时
31、从甲地到乙地,如果提速20%,提前1小时到达,如果按原速先行120米,再提速25%,则提前40 分钟,问甲到乙的距离?
【解析】设原速度为x，两地相距y
y/x=y/1.2x+1
y/x=120/x+(y-120)/1.25x+2/3
得x=45千米/小时
y=270千米