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小学奥数必做的30道行程问题

2022-04-04 19:00:00

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行程问题核心公式:S=V×T,因此总结如下:

当路程一定时,速度和时间成反比

当速度一定时,路程和时间成正比

当时间一定时,路程和速度成正比

从上述总结衍伸出来的很多总结如下:

追击问题:路程差÷速度差=时间

相遇问题:路程和÷速度和=时间

流水问题:顺水速度=船速+水流速度;

逆水速度=船速-水流速度

水流速度=(顺水速度-逆水速度)÷2

船速=(顺水速度-逆水速度)×2

两岸问题:S=3A-B,两次相遇相隔距离=2×(A-B)

电梯问题:S=(人与电梯的合速度)×时间

平均速度:V平=2(V1×V2)÷(V1+V2)

1、邮递员早晨7时出发送一份邮件到对面的山坳里,从邮局开始要走12千米的上坡路,8千米的下坡路。他上坡时每小时走4千米,下坡时每小时走5千米,到达目的地后停留1小时,又从原路返回,邮递员什么时候可以回到邮局?

【解析】

核心公式:时间=路程÷速度

去时:T=12/4+8/5=4.6小时

返回:T’=8/4+12/5=4.4小时

T总=4.6+4.4+1=10小时

7:00+10:00=17:00

整体思考:

全程共计:12+8=20千米

去时的上坡变成返回时的下坡,去时的下坡变成返回时的上坡

因此来回走的时间为:20/4+20/5=9小时

所以总的时间为:9+1=10小时

7:00+10:00=17:00

2、小明从甲地到乙地,去时每小时走6千米,回时每小时走9千米,来回共用5小时。小明来回共走了多少千米?

【解析】

当路程一定时,速度和时间成反比

速度比=6:9=2:3

时间比=3:2

3+2=5小时,正好

S=6×3=18千米

来回为18×2=36千米

3、A、B两城相距240千米,一辆汽车原计划用6小时从A城开到B城,汽车行驶了一半路程,因故在途中停留了30分钟。如果按照原定的时间到达B城,汽车在后半段路程速度应该加快多少?

【解析】

核心公式:速度=路程÷时间

前半程开了3小时,因故障停留30分钟,因此接下来的路程需要2.5小时来完成

V=120÷2.5=48千米/小时

原V=240/6=40千米/小时

所以需要加快:48-40=8千米/小时

4、甲、乙两车都从A地出发经过B地驶往C地,A,B两地的距离等于B,C两地的距离.乙车的速度是甲车速度的80%.已知乙车比甲车早出发11分钟,但在B地停留了7分钟,甲车则不停地驶往C地.最后乙车比甲车迟4分钟到C地.那么乙车出发后几分钟时,甲车就超过乙车。

【解析】

11-7=4分钟

甲乙车的速度比=1:0.8=5:4

甲乙行的时间比=4:5=16:20

所以是在乙车出发后的16+11=27分钟追上甲车

5、铁路旁的一条平行小路上,有一行人与一骑车人同时向南行进。行人速度为3.6千米/小时,骑车人速度为10.8千米/小时。这时有一列火车从他们背后开过来,火车通过行人用22秒,通过骑车人用26秒。这列火车的车身总长是多少米?

【解析】

S=(V火车-V人)×时间=(V火车-V车)×时间

V人=3.6千米/小时=1米/秒

V车=10.8千米/小时=3米/秒

S=(V火车-1)×22=(V火车-3)×26

S=286米

或者

合时间比=22:26=11:13

合速度比=13:11

V人:V车=1:3

(14-1):(14-3)=13:11

所以V火车=14米/秒

S=(14-1)×22=286米

6、小刚和小强租一条小船,向上游划去,不慎把水壶掉进江中,当他们发现并调过船头时,水壶与船已经相距2千米,假定小船的速度是每小时4千米,水流速度是每小时2千米,那么他们追上水壶需要多少时间?

【解析】

我们来分析一下,全程分成两部分,第一部分是水壶掉入水中,第二部分是追水壶

第一部分,水壶的速度=V水,小船的总速度则是=V船+V水

那么水壶和小船的合速度就是V船,所以相距2千米的时间就是:2/4=0.5小时

第二部分,水壶的速度=V水,小船的总速度则是=V船-V水

那么水壶和小船的合速度还是V船,所以小船追上水壶的时间还是:2/4=0.5小时

7、甲、乙两船在静水中速度

分别为每小时24千米和每小时32千米,两船从某河相距336千米的两港同时出发相向而行,几小时相遇?如果同向而行,甲船在前,乙船在后,几小时后乙船追上甲船?

【解析】

时间=路程和÷速度和

T=336÷(24+32)=6小时

时间=路程差÷速度差

T=336÷(32-24)=42小时

8、甲、乙两港间的水路长208千米,一只船从甲港开往乙港,顺水8小时到达,从乙港返回甲港,逆水13小时到达,求船在静水中的速度和水流速度。

【解析】

流水问题:顺水速度=船速+水流速度;逆水速度=船速-水流速度

水流速度=(顺水速度-逆水速度)÷2

船速=(顺水速度-逆水速度)×2

V顺=208÷8=26千米/小时

V逆=208÷13=16千米/小时

V船=(26+16)÷2=21千米/小时

V水=(26-16)÷2=5千米/小时

9、小明早上从家步行去学校,走完一半路程时,爸爸发现小明的数学书丢在家里,随即骑车去给小明送书,追上时,小明还有3/10的路程未走完,小明随即上了爸爸的车,由爸爸送往学校,这样小明比独自步行提早5分钟到校.小明从家到学校全部步行需要多少时间?

【解析】

小明走1/2-3/10=2/10的路程,爸爸走了7/10的路程

因此小明的速度:自行车的速度=2/10:7/10=2:7

因此时间比就是7:2

7-2=5份,对应5分钟

所以小明步行剩下的3/10需要7分钟

那么小明步行全程需要:7/3/10=70/3分钟

10、一只狗追赶一只野兔,狗跳5次的时间兔子能跳6次,狗跳4次的距离与兔子7次的距离相等.兔子跳出550米后狗子才开始追赶.问狗跳了多远才能追上兔子?

【解析】

狗跳5次的时间=兔子跳6次的时间→狗跳20次的时间=兔子跳24次的时间

狗跳4次的路程=兔子跳7次的路程→狗跳20次的路程=兔子跳35次的路程

综上得到V狗:V兔=35:24

当时间一定时,路程和速度成正比

S狗:S兔= V狗:V兔=35:24=1750:1200

因此狗只需要跑1750米即可

11、主人追他的狗,狗跑三步的时间主人跑两步,但主人的一步是狗的两步.狗跑出10步后,主人开始追,主人跑出了多少步才追上狗?

【解析】

主人跑2步的时间=狗跑3步的时间→主人跑2步的时间=狗跑3步的时间

主人跑1步的路程=狗跑2步的路程→主人跑2步的路程=狗跑4步的路程

综上得到主人跑2步可以追上狗4-3=1步

现在狗比主人多跑了10步

所以主人要跑20步

12、某人从甲地前往乙地办事,去时有2/3的路程乘大客车,1/3的路程乘小汽车;返回时乘小汽车与大客车行的时间相同,返回比去时少用了5小时,已知大客车每小时行24千米,小汽车每小时行72千米,甲地到乙地的路程、是多少千米?

【解析】

当时间一定时,路程和速度成正比

返回:时间一定,路程比=速度比=24:72=1:3=3:9

去时:路程比=2:1=8:4

返回的时间:3/24+9/72=1/4

去时的时间:8/24+4/72=7/18

7/18-1/4=5/36,对应5小时

12对应5×12÷5/36=432千米

13、某工厂每天派小汽车于上午8时准时到总工程师家接他到工厂上班,有一天早晨总工程师临时决定提前回工厂办事,匆匆从家步行出发,途中遇到接他的小汽车,立即上车到工厂,结果比平时早40分钟到达。总工程师上车时是几时几分?

【解析】

A-------B----------------C

AB段汽车开一个来回需要40分钟,所以AB段汽车开需要20分钟

汽车是8点钟准时到A点,所以工程师上车是在8:00-0:20=7:40

14、小明从家去体育馆看球赛.去时他步行5分钟后,跑步8分钟,到达体育馆。回来时,他先步行10分钟后,开始跑步,结果比去时多用了3分15秒钟回到家.他跑步的速度与步行的速度比是多少?

【解析】

去时的时间:5+8=13分钟

回来的时间:13+3.25=16.25分钟

去时步行时间:5分钟,回来步行时间:10分钟

去时跑步时间:8分钟,回来跑步时间:6.25分钟

跑步与步行的时间比为(8-6.25):(10-5)=1.75:5

速度比就是5:1.75=20:7

15、B在A,C两地之间,甲从B地到A地去送信,出发10分钟后,乙从B地出发去送另一封信。乙出发后10分钟,丙发现甲乙刚好把两封信拿颠倒了,于是他从B地出发骑车去追赶甲和乙,以便把信调过来.已知甲、乙的速度相等,丙的速度是甲、乙速度的3倍,丙从出发到把信调过来后返回B地至少要用多少时间?

【解析】

A-----------B------------C

分成如下几个部分:

先追上乙,把信取到手并返回B点。用时1:3=10:30,就是10分钟

再追上甲,把信交给甲并把信取到手并返回B点。用时1:3=30:90,就是30分钟

再追上乙,把信交给乙并返回B点。用时1:3=50:150,就是50分钟

总共用时:10+30+50=90分钟

16、甲放学回家需走10分钟,乙放学回家需走14分钟.已知乙回家的路程比甲回家的路程多1/6,甲每分钟比乙多走12米,那么乙回家的路程是几米?

【解析】

甲乙路程比1:7/6=6:7

甲乙时间比10:14=5:7

甲乙速度比6/5:7/7=6:5=72:60

所以乙的路程=60×14=840米

17、在400米环形跑道上,A、B两点相距100米(如图)。甲、乙两人分别从A、B两点同时出发,按逆时针方向跑步。甲每秒跑5米,乙每秒跑4米,每人每跑100米,都要停10秒钟.那么,甲追上乙需要的时间是秒。

【解析】

甲每秒跑5米,则跑100米需要100/5=20秒,连同休息的10秒,共需要30秒

乙每秒跑4米,则跑100米需要100/4=25秒,连同休息的10秒,共需要35秒

35秒时,乙跑100米,甲跑100+5×5=125米

因此,每35秒,追上25米,所以甲追上乙需要35×4=140秒

18、小明从家去学校,如果他每小时比原来多走1.5千米,他走这段路只需原来时间的4/5;如果他每小时比原来少走1.5千米,那么他走这段路的时间就比原来时间多几分几之?

【解析】

原时间:现时间=5:4

原速度:现速度=4:5=6:7.5

现速度=6-1.5=4.5

原速度:现时间=6:4.5

原时间:现时间=4.5:6

(6-4.5)/4.5=1/3

19、甲、乙两列火车的速度比是5:4.乙车先发,从B站开往A站,当走到离B站72千米的地方时,甲车从A站发车往B站,两列火车相遇的地方离A,B两站距离的比是3:4,那么A,B两站之间的距离为多少千米?

【解析】

A---------N---------M-----B

3 4 72千米

速度比=路程比=5:4=15:12

路程比=3:4=15:20

20-12=8份对应72千米

全程=(15+20)×72÷8=315千米

20、已知小明与小强步行的速度比是2:3,小强与小刚步行的速度比是4:5.已知小刚10分钟比小明多走420米,那么小明在20分钟里比小强少走几米?

【解析】

小明:小强:小刚=8:12:15=48:72:90

(72-48)×20=480米

21、甲、乙二人在400米的圆形跑道上进行10000米比赛.两人从起点同时同向出发,开始时甲的速度为8米/秒,乙的速度为6米/秒,当甲每次追上乙以后,甲的速度每秒减少2米,乙的速度每秒减少0.5米.这样下去,直到甲发现乙第一次从后面追上自己开始,两人都把自己的速度每秒增加0.5米,直到终点.那么领先者到达终点时,另一人距离终点多少米?

【解析】

第一次甲追上乙,400÷(8-6)=200秒,S甲=200×8=1600米,S乙=200×6=1200米

第二次甲速度变成6,乙速度变成5.5,400÷(6-5.5)=800秒

S甲=800×6+1600=6400米,S乙=800×5.5+1200=5600米

第三次甲速度变成4,乙速度变成5,400÷(5-4)=400秒

S甲=400×4+6400=8000米,S乙=400×5+5600=7600米

第四次开始,甲速度变成4.5,乙速度变成5.5,400÷(5.5-4.5)=400秒

S甲=400×4.5+8000=9800米,S乙=400×5.5+7600=9800米

9800<1000,因此乙先到达终点。

乙跑到终点时,甲还剩下:200×(5.5-4.5)÷5.5=400/11米

22、一支解放军部队从驻地乘车赶往某地抗洪抢险,如果将车速比原来提高1/9,就可比预定的时间20分钟赶到;如果先按原速度行驶72千米,再将车速比原来提高1/3,就可比预定的时间提前30分钟赶到。这支解放军部队的行程是多少千米?

【解析】

速度比=9:10,时间比=10:9=10/3:3

速度比=3:4 ,时间比=4:3=2:1.5

因此,按照原速度行驶72千米需要10/3-2=4/3小时

S=72×10/3÷4/3=180千米

23、甲、乙两人同时从山脚开始爬山,到达山顶后就立即下山.他们两人下山的速度都是各自上山速度的2倍。甲到山顶时,乙距山顶还有400米,甲回到山脚时,乙刚好下到半山腰。求从山顶到山脚的距离。

【解析】

甲到山脚时,乙到半山腰→甲走1.5个上坡,乙走1.25个上坡

时间一定,路程比=速度比=1.5:1.25=6:5=2400:2000

因此山的高度为:2400米

24、甲、乙两车分别从A,B两地同时相向开出,四小时后两车相遇,然后各自继续行驶三小时,此时甲车距B地10千米,乙车距A地80千米.问甲车到达B地时乙车还要经过多少小时才能到达A地?

【解析】

整体考虑

总共行了7个小时,甲车比乙车多行80-10=70千米,因此甲车每小时比乙车多行10千米

4小时乙行的路程=3小时甲行的路程+10

乙=40千米/小时,甲=50千米/小时

T=80/40-10/50=1.8小时

25、从家里骑摩托车到火车站赶乘火车.如果每小时行30千米,那么早到15分钟;如果每小时行20千米,则迟到5分钟.如果打算提前5分钟到,那么摩托车的速度应是多少?

【解析】

S=30×(T-15/60)=20×(T+5/60)

15+5=20分钟

速度比=30:20=3:2

时间比=2:3=40:60

正好需要:40+15=55分钟

提前5分钟:55-5=50分钟

时速=30×40÷50=24千米/小时

26、同样走100米,小明要走180步,父亲要走120步.父子同时同方向从同一地点出发,如果每走一步所用的时间相同,那么父亲走出450米后往回走,还要走多少步才能遇到小明?

【解析】

父亲走450米,走了450×120÷100=540步

小明走540步,走了540÷180×100=300米

两人相差450-300=150米

150÷(100/120+100/180)=108步

27、小明从家到学校时,前一半路程步行后一半路程乘车,从学校回家时,前1/3时间乘车,后2/3时间步行,结果去学校的时间比回家所用的时间多2小时,已知小明步行的速度为每小时5千米,乘车速度为每小时15千米,那么小明从家到学校的路程是( )千米?

【解析】

回家乘车和步行的路程比是1/3×15:2/3×5=3:2

所以回家乘车的路程是3/5

3/5-1/2=1/10,对应15千米/小时行驶1小时或5千米/小时行驶3小时

S=15/1/10=150千米

或者

去时,路程比=1:1=5:5,速度比=5:15,时间比=1/5:1/15

返回,时间比=2:1,速度比=5:15,路程比=2×5:1×15=2:3=4:6

所以去时的时间=5/5+5/15=4/3,返回的时间=4/5+6/15=6/5

4/3-6/5=2/15,对应2小时

全程=10×2/2/15=150千米

28、A、B两地相距207千米,甲、乙两车8:00同时从A地出发到B地,速度分别为60千米/小时,54千米/小时,丙车8:30从B地出发到A地,速度为48千米/小时。丙车与甲、乙两车距离相等时是几点几分?

【解析】

假设丙也是从8点出发,到达B点时正好是8:30

那么丙走的路程就是:0.5×48=24千米,那么全程就变成:207+24=231千米

丙车与甲、乙两车的距离,可以看成甲乙的平均速度与丙相遇 (*)

V平=(V甲+V乙)÷2=57千米/小时

T=231÷(V平+V丙)=231÷(57+48)=2.2小时=2小时=12分

所以这时是:8:00+2:12=10:12分

29、小明通常总是步行上学,有一天他想锻炼身体,前1/3路程快跑,速度是步行速度的4倍,后一段的路程慢跑,速度是步行速度的2倍.这样小明比平时早35分到校,小明步行上学需要多少分钟?

【解析】

这天,路程比=1:2,速度比=4:2,时间比=1/4:2/2,时间=1/4+1=5/4

平时,时间=3/1=3

3-5/4=7/4对应35分

平时用时=35×3÷7/4=60分钟

30、红光农场原定9时来车接601班同学去劳动,为了争取时间,8时同学们就从学校步行向农场出发,在途中遇到准时来接他们的汽车,于是乘车去农场,这样比原定时间早到12分钟。汽车每小时行48千米,同学们步行的速度是每小时几千米?

【解析】

A------B--------------------C

8点钟,同学们从A点出发,到B点遇到来接他们的车

汽车来回AB需要12分钟,那么走一趟AB需要6分钟

而人走AB需要:60-6=54分钟

时间比=速度比的反比,54:6=48:48/9

所以同学步行的速度是16/3千米/小时

31、从甲地到乙地,如果提速20%,提前1小时到达,如果按原速先行120米,再提速25%,则提前40 分钟,问甲到乙的距离?

【解析】设原速度为x,两地相距y

y/x=y/1.2x+1

y/x=120/x+(y-120)/1.25x+2/3

得x=45千米/小时

y=270千米

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