一、前言
在信评实际工作中，通常会遇到以下问题：在存在部分披露的情况下，如何比较两组应收账款的分散程度？通常采用的指标是前10名或前5名所占百分比。但是，前N名合计占比这个指标不能完全衡量分散程度。例如，有以下两组应收款：
| 序号 | 占比（%） | 累计占比（%） |
|---|---|---|
| 1 | 30 | 30 |
| 2 | 30 | 60 |
| 3 | 30 | 90 |
| 4 | 5 | 95 |
| 5 | 5 | 100 |
| 序号 | 占比（%） | 累计占比（%） |
|---|---|---|
| 1 | 70 | 70 |
| 2 | 14 | 84 |
| 3 | 6 | 90 |
| 4 | 5 | 95 |
| 5 | 5 | 100 |
-
情况1：披露时，都只披露前3名的情况。
此时，披露出的部分占比都是90%，无法比较谁的分布更集中，但是显然后者更集中，前者更分散。
-
情况2：完全披露应收款的分布情况
采用前3名合计占比这个指标来衡量，则二者分散度的度量结果相同，无法比较，但是显然后者更集中，前者更分散。
-
情况3：前者只披露出前3名，后者全部披露
无法直接比较二者的分散程度
本文的目的在于：提出一种通用的度量，可以比较两组应收款的分布哪一个更分散。
同时，本文提出的分散程度度量方法，其适用的范围更广，可以将一组完全披露、一组不完全披露的两组应收款来比较其分散度。由于它是借用Markowitz均值-方差模型的想法构建的，因此暂称之为-度量。
二、原理、方法论与假设
本文提出度量应收款分散度的思路如下。化用Markowitz均值-方差模型的想法，在Markowitz均值-方差模型的假设下，应收款越分散，合计违约金额这个随机变量的方差就越小。因此，合计违约金额的方差的大小，可以作为应收款分散度的一个度量方式。
具体来说，即假定应收款中：
- 每笔债务违约与否相互独立
- 每笔债务违约的概率都是
- 每笔债务回收金额为0
三、σ-度量的计算方法、性质及含义解读
1、计算方法
设实际的应收款百分比降序列为，其中，前项为报表附注中注明，通常是前5大债务人，或前10大；为实际上有多少笔应收款。因此有。记。采用度量区间来度量，其中
其中，对于未知的部分的计算方式如下：
取，
- 若
- 则另取，
- 否则取，
- 若
- 则取，2
- 否则取，
- 若，
- ……依此类推
- 若，
- 若
例：有不完整的降序百分比列：80%, 7%, 3%
计算：
计算：还应再指定的值
不完整百分比例之外，还有1-(80%+7%+3%)=10%，因此取，，
2、性质（与应用无关，可跳过）
对于披露完全的，有，即区间段收缩成一个数，记为
分布越集中，、越大；反之越小
-
、的最大值为1，最小值为，其中为实际上应收账款的笔数
这一条也说明，-度量对于应收账款笔数也是有所反映的，不像前N名合计占比，对应收账款笔数不敏感
是假定未知的部分达到最分散的状态时，σ-度量如何；是假定未知部分达到最集中的状态时，σ-度量如何
开二次根号完全是为了数字看上去舒服，不会太过接近于1，类比于方差与标准差而生产，无其他实际用途
3、解读
计算出的、本身没有意义，通过与另一个区间进行比较才有意义。
-
对于计算出的两个区间，解读方法是：
若，即两区间没有重合，则小者表示分布更分散，大者表示分布更集中
-
若，即两区间有重合，则认为不可判断。对于“轻微接触”的情形，可视“轻微程度”来解读。
如，，相交的部分是，长度为0.01，认为可以忽略，认为后者比前者更分散
如，后者包含着前者，则认为完全无法判断
-
对于计算出的一个区间、一个数，解读方法是：
- 若，则小者表示分布更分散，大者表示分布更集中
- 若，则看是否特别接近和，如果不是特别接近，则认为无法判断，否则根据大小可以粗略判断
4、另一种使用方法
在计算出和后，可以寻找与之分散度最为接近的项等值，即利用解出的值。此时，的值代表着可将这样的分散程度，视作几等分的分散度。
四、计算举例
1、前言中的例子
利用上述度量，比较前言中情形3的两个应收账款分散度。
上表：，
下表：
下表的71.99%在区间(51.96%, 52.92%]的右侧，因此下表的分布更集中，上表的更分散。
2、无法直观比较出的分散度举例
例1：虚拟的例子
| 应收款1 | 应收款2 | |
|---|---|---|
| 第1名 | 27.49 | 34 |
| 第2名 | 12.96 | 7.5 |
| 第3名 | 7.18 | 5 |
| 第4名 | 4.15 | 3.95 |
| 第5名 | 3 | 3.94 |
| 前5名合计占比 | 54.78 | 54.39 |
上表为两组应收款，各按其中债务主体进行汇总，排序为金额占比由大到小，其中的数字表示该债务人占总应收款的比重。用肉眼观察，前5名合计占比二者差不多；第1组应收款的第1名占比小，但是2~4名占比大。因此，无法用直观地看出哪一组应收款更分散。
用本文提出的方法计算，得到：
| 应收款1 | 应收款2 | |
|---|---|---|
| 31.65 | 35.61 | |
| 33.71 | 38.00 |
其中，应收款1中：
因为，从而有
应收款2的计算同理。
观察上表，可知：应收款1的区间整体都在应收款2的左侧，因此，应收款1更分散。
例2：易事特集团股份有限公司应收款分散度分析
将以上两张表的占比部分提取出来，得到下表：
| 2017Q1应收款 | 2017Q3应收款 | |
|---|---|---|
| 第1名 | 27.49 | 26.88 |
| 第2名 | 12.96 | 13.24 |
| 第3名 | 7.18 | 6.88 |
| 第4名 | 4.15 | 4.05 |
| 第5名 | 3 | 3.94 |
| 前5名合计 | 54.78 | 54.99 |
现在需要分析该企业这两次报告期的应收账款分散度如何变动。
经计算，得到：
| 2017Q1应收款 | 2017Q3应收款 | |
|---|---|---|
| 31.65 | 31.26 | |
| 33.71 | 33.92 |
两区间基本是重叠在一起的（2017Q3的区间是包含着Q1的区间的），相交的部分长度为2.06，两区间长度为2.06、2.66，因此认为，两期的应收账款分散度没有变化。
通过以上两个例子，可以看出，用肉眼直接观察、用前N名占比和这些指标，是无法准确判断出两组应收款谁更分散的。
五、与熵、Theil指数的比较
1、定义
借用本文的符号，用熵来度量分散度是
用Theil指数度量是
其中，是第个个体的收入。
2、问题
熵度量的问题在于，对于任何一张未尽的、截断的应收账款占比的表（记剩余未展示的百分比为），其最分散情况都是：
从而，无法区分最分散的情况下，谁更分散。
Theil指数的问题在于，当时，
也就是说，对于一个三等分的应收款分布，和一个一百等分的应收款分布，Theil指数认为二者的分散程度是一样的，然而这显然是不正确的（当然，这对于收入分配来讲，3人均分和100人均分，应该是等价的，所以Theil才用于衡量收入均等化的程度）。
六、结论、拓展及展望
1、结论
本文提出了一种衡量应收账款分散程度的指标——-度量。对于一张完整的应收账款明细表，可以计算出其分散程度；对于截断的应收账款降序表（如前5大应收账款占比表），可以充分利用表内的信息，估计出其分散程度的范围。可比性方面，完整表-缺失表、完整表-完整表、缺失表-缺失表之间的分散程度度量，都可以进行比较。
此方法避免了用肉眼观察以及一些简单指标使用时带来的误判。
另外，需要指出的是，与应收款分布类似的，即可以等价于一组非负的、和为1的数的情形，都可以用此方法计算其分散程度。如：
- 股权分布是否分散（前十大股东的持股比例表）
- 其他就收款的分布是否分散
- 企业的业务是否多元（企业某一期各板块营业收入占总营业收入比重的表）
- 企业的业务是否趋于集中（企业历期各板块营业收入占总营业收入比重的表）
- ……
2、拓展
A、用于GDP分项（细分程度不同）分散度的度量
对于成组缺失的，比如比较A、B两个地区的产业分布，A只公布了一二三产业的产值，B公布得更详细，公布了几个具体行业大类的产值，如：沈阳和济南
| 沈阳GDP分项 | 济南GDP分项 |
|---|---|
|
|
|
由于细项之和即大项，如：工业=采矿业+制造业+电力、燃气及水的生产和供应业，因此，取二者分类之最细，分别计算沈阳和济南的分散度。由于济南的GDP分项的每一项都比沈阳的要细，因此，济南的分散度计算出来应为一个数，而沈阳为2个数。
沈阳GDP分项的分散度计算过程，即：设各细项之比例，但已知一些细项之和的比例，计算这些未知比例变动时，使得分散度达到的最大值（上确界）和最小值（下确界）。当所有的分项都取所属大分项的平均值时，分散度达到最小（最分散）（证明：取向量和，利用欧氏空间Cauchy不等式可得）；当所有已知分项组中，只有1个值非零，其他值全为0时，分散度达到最大（最集中）（证明：利用附录中的引理1可得）。
例：设非负，之和为1，已知，未知，但是已知，求分散度
，
3、展望
本文提出的方法，基于以下前提假设：
假定应收款中：
每笔债务违约与否相互独立
每笔债务违约的概率都是
每笔债务回收金额为0
引申到更广的层次，就是：
假定各个份额都满足：
- 互不相关
- 只有零和满两个状态
其中第2条的意思是，每个份额都只有“非此即彼”两种状态，如：
- 应收账款表
- 零：违约，回收金额为0
- 满：不违约，全额回收
- 股东表
- 零：表决时同意
- 满：表决时不同意
- 主营业务比例表
- 零：板块不景气
- 满：板块景气
- 地区GDP分项表
- 零：行业不景气
- 满：行业景气
而且，本文方法的根本想法是风险代表分散度。也就是说，不能用风险代表的分散度，就不能用本文的方法来度量。如收入分配是否足够分散（即平均分配），更适合用Theil指数来度量，而不适宜用本文的方法来度量。
而这些，也正是本方法需要改进的地方：
- 风险无法代表的分散度，如何度量？如：
- 收入分配是否均匀
- 一个地区的创新创业活力
- 一般团队越多，创业越可能成功
- 成功一个好项目，就能带动起一个地区的发展（即预期收益不是各分项的平均收益之和，即孵化出了3个项目，3个都搞搞；而是：孵化出了3个项目，只选一个最有前景的）
- 份额之间存在相关性，怎么办？如：
- 应收账款：某几个债务人同属一个行业
- 股东表：存在一致行动人
- 主营业务比例表：一些板块之间存在联动，如发电和电解铝（上下游）、环保发电设备与环保电厂运营（上下游）、汽油和柴油的生产（原料同是燃料油或原油）
- 地区GDP分项表：细项之间相关联，如邮政业-航空运输业，一些快递就是通过飞机运输的，二者为紧密相关
- 每个份额存在不止2种状态，还存在其他中间态，如：
- 应收账款：收回8成的本金
- 股东表：不参与经营
- 主营业务比例表：板块景气度还存在
一般这个状态 - 地区GDP分项表：行业景气度还存在
一般这个状态
附录：推导
记为第笔应收款违约，且收回金额为0，为第笔应收款不违约。
则所有应收款可收回的金额占总应收金额的百分比为，期望
其方差为（随机变量独立性）
不妨记，则上式为
类似于Markowitz的“分散投资带来风险降低”的核心思想，投资组合的风险可以拆解成“分散度单项资产风险”。去除掉违约概率的影响，剩下的便是分散度的度量。因此，上式除以单项资产的波动，得到应收款分散度的度量
遗憾的是，我们也许不能通过报表附注得到全部的，只能得到前面的一部分。有时是前5大应收款，有时是前10大。为了充分运用报表给出的信息，以得到一个统一的对于应收款分散度的度量，因此通过上式求得该分散度，并估计期最大最小值，即可对不统一的应收款分布进行统一比较。
- 命题1： 取最小值时，比例未知的部分取 。令，则在不确定的取值时，下确界为
-
命题2：取最大值时，比例未知部分尽量堆得更“集中”。
所谓“集中”，指：剩余未知项占比，至多有一项的占比小于已知的最后一名的占比，如：
例1：剩余部分比例为，且，则后续序列尽量往前堆，即取 。
例2：剩余部分比例为，且，则后续序列必须小于，因此持续未知序列至少有3项。取，，
命题1证明：
设 ,则有，
根据詹森不等式有 ：
当且仅当 ，等号成立。
，随递减。当，，故的下确界为
# 证毕
命题2证明：
证明：当未知部分占比当且仅当满足以下条件A时，取到最大值：
条件A：小于且大于0的个数至多有1个
一、先证明：只有未知部分占比小于且大于0的个数至多有1个时， 才可能取到最大值（即条件A为必要条件）
反设：存在：未知部分占比小于且大于0的个数大于等于2的，可以取到 的最大值
记，则有 。
取其中介于两项，， ，分情况讨论：
-
时
试以新的两项 取代
此时 ，不会对其他项产生影响。
作差
所以
即以 取代 能令 的取值更大，
即此时 并未取到最大值。
-
时
试以新的一项 分别取代
显著地，
即以 取代 能令 的取值更大，
即此时 并未取到最大值。
至此假设被推翻，即：当存在2个及以上的、取值在之间的项时，无法取到最大值。
因此当中至多存在1个介于项时，才有可能取到最大值。
二、再证明：条件A为充分条件、存在最大值
任取不满足条件A的，记之为，对应的为
则从中取出，其中，记，，其他项沿袭，即：，由此得到，以及该序列的。由必要性证明部分可知，。
依此类推，得到，对于任何，每经过一步，序列中都会多出1个为的项。而对于任何未知部分占比，其中等于的项是有限多个。因此，从任何有限项的，都可以经过有限步（记步数为），得到，且满足条件A，且此条件下对应的所有都相同，记为。
因此，有
任取满足条件A的，其特点是：
-
只有项，其中表示对向上取整，如
证明：反设。则：
即，与题设矛盾。
所有项都为；或者只有一项不为，其值为，其余项都为
因此，其值都相同，记为
综上，当满足条件A时，成立
即当满足条件A时，达到最大值
# 证毕