从八皇后开始说回溯法

定义

开头先上一个让人懵逼的定义：把问题的解空间转化成图或树，再按深度优先遍历它，在遍历时记录所有解再根据条件选择找出最优解或展示所有可行解。

解释

解空间是相对的，它取决于约束条件。
举个栗子吧，八皇后问题。国际象棋的棋盘上放8个皇后，要求皇后不能互相吃掉（皇后吃东西的范围是横竖线加两个对角线），那么，在以皇后不能互相吃掉的前提为前提条件下，我们从头开始往下放皇后，放到没有位置可以放为止，我们放下的这些皇后的位置，就构成了一个解，所有的解就构成了解空间，每个解都是由若干个位置组成的，所以这个解空间是一个树形结构，以x轴右方向为正，y轴下方向为正，左上角为原点在棋盘上建立坐标系（因为后面二位数组我们按这个顺序打印输出），如果我们第一个皇后放在0,0位置，那么第二行的皇后可以放在除0,1和1,1外的所有位置，以此类推，这是一个明显的树形结构。
但这只是以皇后不能互相吃掉为约束条件，我们还有一个条件就是“八”，所以如果放不了八个皇后，换言之就是这个解空间树的遍历深度达不到第八层，就是失败解，这种情况如果出现了，我们就要回退到上一层去寻找其他解，再找不到再向上，重复这个过程。下图所示就是一种失败解：

失败解

可以看到，第六层任何位置都没法放皇后了（请别吐槽皇后的长相）。

算法思路

首先确定我们要干什么，我们要打印出所有可行解。
1.从第一行开始，逐个格子测试是否可以放下皇后（满足不互相吃的条件）。
2.放下之后在下一行重复过程1，因为本行不可能放两个皇后，否则就互相吃了。
3.如果出现某行无法放下皇后，就退回上一行删掉之前放下的皇后，换个位置尝试，如果没位置了再回退一行。
4.如果在第八行成功放下皇后，就是可行解，打印它之后回退，寻找其他可行解。

代码实现

根据以上思路，代码实现如下：

public class EightQueen {
    public static final int TYPE_QUEEN = 5;
    public static final int TYPE_EMPTY = 0;
    private int length = 8;
    private int [][] chessboard = new int[length][length];
    public void startPut(){
        putQueenRecursive(0);
    }

    private void printMatrix(){
        for (int y = 0; y < length; y++) {
            for (int x = 0; x < length; x++) {
                System.out.print(chessboard[y][x] + " ");
            }
            System.out.println();
        }
        System.out.println("=========================");
    }

    private void putQueenRecursive(int row){
        if(row == length){
            printMatrix();
            return;
        }
        for (int column = 0; column < length; column++) {
            if(!isConflict(row, column)){
                chessboard[row][column] = TYPE_QUEEN;
                //System.out.println(String.format("==========在[%s][%s]位置放下皇后", row, column));
                putQueenRecursive(row + 1);
                System.out.println("这个解是失败的");
                printMatrix();
                //这行代码非常关键，下层返回了就证明无解或已经产生解，继续求解则必须把这次放的皇后消灭
                chessboard[row][column] = TYPE_EMPTY;
            }
        }

    }
    private boolean isConflict(int row, int column){
        //检测纵向是否有皇后
        for (int i = 0; i < length; i++) {
            if(i != column && chessboard[row][i] != 0){
                //System.out.println(String.format("[%s][%s]横向有皇后，位置[%s][%s]", row, column, row, i));
                return true;
            }
        }
        //检测横向是否有皇后
        for (int j = 0; j < length; j++) {
            if(j != row && chessboard[j][column] != 0){
                //System.out.println(String.format("[%s][%s]纵向有皇后，位置[%s][%s]", row, column, j, column));
                return true;
            }
        }
        //检测右下走向对角线是否有皇后
        int min = Math.min(row, column);
        for (int r1 = row - min, c1 = column - min; r1 < length && c1 < length; r1++, c1++) {
            if(r1 != row && c1 != column && chessboard[r1][c1] != 0){
                //System.out.println(String.format("[%s][%s]右斜向有皇后，位置[%s][%s]", row, column, r1, c1));
                return true;
            }
        }
        //检测左下走向对角线是否有皇后
        //因为是向左下角走，y增方向不变，x值则相反了，所以这里初始值x应该取length - x
        min = Math.min(row, (length - 1 - column));
        //同样，x值的初始值应该加最小值，x的边界是0，增量是-1
        for (int r1 = row - min, c1 = column + min; r1 < length && c1 > -1; r1++, c1--) {
            if(r1 != row && c1 != column && chessboard[r1][c1] != 0){
                //System.out.println(String.format("[%s][%s]左斜向有皇后，位置[%s][%s]", row, column, r1, c1));
                return true;
            }
        }
        return false;
    }
    private int previousIndex(int index){
        if(index > 0)
            return index - 1;
        else
            return length - 1;
    }
    private int nextIndex(int index){
        if(index < length - 1)
            return index + 1;
        else
            return 0;
    }
}

优化

以上代码我们采用二维数组建模，但是通过观察可以发现，二维数组中只有两种状态，一种是有皇后，另一种是空的（同时也是数组的默认值），同时每行只有一个位置有皇后，符合这种情况的二维数组可以优化为一维数组，数组中存放的是本行中皇后的位置。
那么，这种情况下怎么判定在横竖行和对角线是否有皇后呢？我们还是先画图观察：

冲突位置皇后合影（局部）

上图中，我们以x轴皇后位置为值转化为一维数组，可以得出以下结果：
1.横行的皇后我们直接不用考虑了。因为上面的思路里就不会在横行放两个皇后。
2.对角线的皇后符合一个特征，我们来看 带草帽的皇后，如果它的坐标是(x, y)，跟她冲突的皇后坐标是(x1, y1)，转化为一维数组时它的坐标是(arr[i], i)，跟她冲突的皇后坐标是(arr[i1], i1)，跟她在对角线的皇后都符合一个特征：abs(x - x1)等于abs(y - y1)。这点当我们转化为一维数组时就是abs(i - i1)等于abs(arr[i] - arr[i1])。
3.竖行的皇后就是x坐标相等，在转化为一维数组后就是arr[i]等于arr[i1]。

按照以上思路重写代码，如下：

public class GracefulEightQueen {
    private int[] queenXLocations = new int[8];
    public void dropQueen(){
        dropQueen(0);
    }
    private void dropQueen(int row){
        if(row == 8){
            printQueenXLocations();
            return;
        }
        for (int column = 0; column < queenXLocations.length; column++) {
            queenXLocations[row] = column;
            if(canDropQueen(row)){
                dropQueen(row + 1);
                //这里为什么不用擦除之前的值？
                //因为转化为一维数组之后，每次对同一行不同位置的赋值都是覆盖操作
            }
        }
    }
    private boolean canDropQueen(int row){
        for (int i = 0; i < row; i++) {
            if(queenXLocations[row] == queenXLocations[i] || Math.abs(row - i) == Math.abs(queenXLocations[row] - queenXLocations[i])){
                return false;
            }
        }
        return true;
    }
    private void printQueenXLocations(){
        System.out.println(Arrays.toString(queenXLocations));
    }
}

经测试，以上代码运行结果均符合预期。