动态规划

First of All ，I think dynamic programming is the most easy algorithm。Actually it is (>.<)

一、动态规划的核心

A * "1+1+1+1+1+1+1+1 =？" *

A : "上面等式的值是多少"
B : *计算* "8!"

A *在上面等式的左边写上 "1+" *
A : "此时等式的值为多少"
B : *quickly* "9!"
A : "你怎么这么快就知道答案了"
A : "只要在8的基础上加1就行了"
A : "所以你不用重新计算因为你记住了第一个等式的值为8!动态规划算法也可以说是 '记住求过的解来节省时间'"

由上面的图片和小故事可以知道动态规划算法的核心就是记住已经解决过的子问题的解。

二、动态规划算法的核心

上面已经知道动态规划算法的核心是记住已经求过的解，记住求解的方式有两种：①自顶向下的备忘录法 ②自底向上。
为了说明动态规划的这两种方法，举一个最简单的例子：求斐波拉契数列Fibonacci 。先看一下这个问题：

Fibonacci (n) = 1; n = 0
Fibonacci (n) = 1; n = 1
Fibonacci (n) = Fibonacci(n-1) + Fibonacci(n-2)
这个问题的解法是很简单的。先使用递归来实现这个算法。

public int fib(int n)
{
    if(n<=0)
        return 0;
    if(n==1)
        return 1;
    return fib( n-1)+fib(n-2);
}
例如我们输入6，输出结果为8

递归算法执行流程，递归树如下：

我们可以看到，利用递归解法，很多重复的节点会被执行，例如fib(2)执行了5次。这么多的子节点被重复执行，如果在执行的时候把执行过的子节点保存起来，后面要用到的时候直接查表调用的话可以节约大量的时间。我们可以使用DP来解决Fibonacci数列的问题
这里我们采用自底向上的方法

public static int fib(int n)
{
        if(n<=0)
            return n;
        int []Memo=new int[n+1];
        Memo[0]=0;
        Memo[1]=1;
        for(int i=2;i<=n;i++)
        {
            Memo[i]=Memo[i-1]+Memo[i-2];
        }       
        return Memo[n];
}

钢条切割问题

• 递归版本

public static int cut(int []p,int n)
    {
        if(n==0)
            return 0;
        int q=Integer.MIN_VALUE;
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            q=Math.max(q, p[i-1]+cut(p, n-i));  
        }
        return q;
    }

历所有解空间但这里和上面斐波拉契数列的不同之处在于，在每一层上都进行了一次最优解的选择，q=Math.max(q, p[i-1]+cut(p, n-i));这个段语句就是最优解选择，这里上一层的最优解与下一层的最优解相关。

• 自底向上的动态规划

public static int buttom_up_cut(int []p)
    {
        int []r=new int[p.length+1];
        for(int i=1;i<=p.length;i++)
        {
            int q=-1;
            //①
            for(int j=1;j<=i;j++)
                q=Math.max(q, p[j-1]+r[i-j]);
            r[i]=q;
        }
        return r[p.length];
    }

自底向上的动态规划问题中最重要的是理解注释①处的循环，这里外面的循环是求r[1],r[2]……，里面的循环是求出r[1],r[2]……的最优解，也就是说r[i]中保存的是钢条长度为i时划分的最优解，这里面涉及到了最优子结构问题，也就是一个问题取最优解的时候，它的子问题也一定要取得最优解.r[ ]数组中保存了各个长度的最优解

动态规划原理

总结一下上面的斐波拉契数列和钢条切割问题，发现两个问题都涉及到了重叠子问题，和最优子结构。

1. 重叠子问题
   在斐波拉契数列和钢条切割结构图中，可以看到大量的重叠子问题，比如说在求fib（6）的时候，fib（2）被调用了5次，在求cut（4）的时候cut（0）被调用了4次。如果使用递归算法的时候会反复的求解相同的子问题，不停的调用函数，而不是生成新的子问题。如果递归算法反复求解相同的子问题，就称为具有重叠子问题（overlapping subproblems）性质。在动态规划算法中使用数组来保存子问题的解，这样子问题多次求解的时候可以直接查表不用调用函数递归。
2. 最优子结构
   用动态规划求解最优化问题的第一步就是刻画最优解的结构，如果一个问题的解结构包含其子问题的最优解，就称此问题具有最优子结构性质。因此，某个问题是否适合应用动态规划算法，它是否具有最优子结构性质是一个很好的线索。使用动态规划算法时，用子问题的最优解来构造原问题的最优解。因此必须考查最优解中用到的所有子问题。

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动态规划经典案例：背包问题 https://www.cnblogs.com/A-S-KirigiriKyoko/p/6036368.html