[Combinatorial] 7 群

7-1 可以转的世界

举例–红蓝两种颜色给正方形的四个顶点着色,存在多少种不同的方案?
群就是一个集合配上一个运算

7-2 置换群

置换可以构成一个群。
[1, n]上的由多个置换组成的集合在上面的乘法定义下构成一个群,则称为置换群。
[1,n]上的所有置换(共n!个)构成一个群，称为n阶对称群。
一般说[1,n]上的一个置换群，不一定是指Sn, 但一定是Sn的某一个子群。

置换的循环表示

若两个循环无共同文字，称为不相交的，不相交的循环相乘可交换。如(132)(45)= (45)(132).
共轭类
Sn中有相同格式的置换全体构成一个共轭类。

对换

2阶循环叫做对换
定理 任一循环都可以表示为对换的积。
任一置换表示成对换的个数的奇偶性是唯一
S = (1)(25)(37)(46) 3个换位，奇置换
S = (1) (2) (3) (4) (5) 0个换位，偶置换

转动群

一多面体在空间运动，其运动前后占有同一个空间位置，一切这样的运动的集合，对于以两个这样的运动相继施行作为乘法构成群，称为多面体群。
它是置换群的（在某个空间条件下的）子集。

7-3 Burnside引理

注意！！！！！！！！！！
Burnside引理中的12345和之前在一个图像中给顶点标号的12345不一样了，这里的12345代表的是一整个图象！！！！！！

着色图象与着色方案

图象:固定不动,物理位置上具有不同染色的即为不同的图象
方案:经过外力变换,可以完全重合的不同图象为同一个方案（图象在置换群中的等价类）
– 内部结构不变
– 置换:外力产生的变换,如转动,翻转
– 图像在变换中构成置换群
– 图象在置换群中的等价类

着色问题的等价类

置换pi使图像k变为l，则称k和l属于同一个等价类
正方形顶点二着色只考虑旋转的等价类个数: 6
|G|:置换个数– 只考虑旋转: 4
– Rotate 0 degree: p0=(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)(12)(13)(14)(15)(16)
– rotate 90 degree: p1=(1)(2 3 4 5)(6 7)(8 9 10 11)(12 13 14 15)(16)
– rotate 180 degree: p2=(1)(2 4)(3 5)(6)(7)(8 10)(9 11)(12 14)(13 15)(16)
– rotate 270 degree: p3=(1)(2 5 4 3)(6 7)(8 11 10 9)(12 15 14 13)(16)

k不动置换类(Stabilizer)

设G是[1,n]上的一个置换群。G是Sn的一个子群. k∈[1,n]， G中使k元素保持不变的置换全体，称为k不动置换类，记做Zk.
• 如G={e,(1 2),(3 4), (1 2)(3 4)}
• Z1={e,(3 4)}
• Z2={e,(3 4)}
• Z3=Z4={e,(1 2)}

等价类(Orbit)

{1,2….n}中的数k，若存在置换pi使k变为l，则称k和l属于同一个等价类,数k所属的等价类记为Ek.
等价类是彼此可以通过置换达到的。

定理(Orbit-stabilizer theorem) 设G是[1,n]上的一个置换群，Ek是[1,n]在G的作用下包含k的等价类，Zk是k不动置换类。有|Ek||Zk|=|G|.

不动置换类是置换的集合，等价类是元素（图像）的集合

7-4 闲话群

群什么都不是，所以它，什么都是。