浮点数的表示

一、基本介绍

浮点数是与定点数相对的概念，计算机中的定点数约定小数点的位置不变。

由于计算机字长的限制，当需要表示的数据有很大的数值范围时，不能直接用定点小数或者定点整数表示。

浮点数由尾数$M$和阶码$E$构成。

基数为2的数$F$的浮点数表示为：
$$F=2^E\times M$$
浮点数编码的规则：

1. 尾数$M$必须为小数，用$n+1$位有符号定点小数的形式表示，可以采用原码、补码
2. 阶码$E$必须为整数，用$k+1$位有符号定点整数表示，可以采用原码、补码、移码
3. 浮点数的编码位数$m=(n+1)+(k+1)$

浮点数的编码格式有多种，格式的选择可以由计算机设计人员决定，例如：

详细解释

• 阶码是整数，其位数$k+1$决定了浮点数表示的数值范围(小数点在数据中的真实位置)。阶符决定了阶码的正负。阶码越长，所能表示的范围越大。
• 尾数是小数，其位数$n+1$决定了浮点数的精度。尾数越长，所能表示的精度越高。
• 尾数的符号表示浮点数的正负。

二、IEEE 754标准浮点数

IEEE 754规定单精度浮点数的真值一般表示为:
$$N=(-1{)}^s\times 2^{e-127}\times 1.f$$
单精度浮点数的编码格式由3个字段构成

• 数符$s$为1位，表示浮点数的正负
• 尾数编码$f$为23位，采用原码表示
• 阶码$e$编码为8位( 含1位阶符，采用移码表示，偏移量127 )

注意点:

1. IEEE 754中的阶码采用移码来表示，但是对于单精度浮点数来说，移码的偏移量不是$2^7$，而是$2^7-1=127$, 因为IEEE 754 将移码编码的全0和全1作为了特殊标识。
2. IEEE 754浮点数为规格化的浮点数，为了能够更多的表示尾数的有效位数，规定尾数真值的整数部分必须为1，尾数编码时整数1隐去，小数部分$f$用原码表示。

IEEE 754阶码的规定

IEEE 754标准的32位浮点数格式为：

• 数符：0正，1负
• 阶码：阶码真值+127
• 尾数：23位，采用隐含尾数最高位1的表示方法，实际尾数24位，尾数真值=1+尾数
  

阶码e全0和全1时的特殊含义：

1. 阶码全0，且尾数f不全为0时，表示表示该浮点数不是规格化浮点数。
2. 阶码e全1，且尾数f全0时，则该浮点数表示正无穷大或者负无穷大，当数符s为1时，表示负无穷大，当数符s为0时，表示正无穷大。
3. 阶码e全1，且尾数不全为0时，则该浮点数表示非数值数据(NaN)。

浮点数的舍入规则：

1. 就近舍入
2. 朝0舍入
3. 朝无穷大舍入
4. 朝负无穷舍入

三、浮点数的运算

3.1 浮点数的加减法

1. 对阶：尾数右移，小阶对大阶，阶码小的尾数右移，阶码+1
2. 尾数加减法运算：使用补码运算，减法也采用补码加法实现
3. 规格化：尾数加减法运算后，结果可能是非规格化数，如果结果的真值$M$不满足$\frac{1}{2}<M<1$，则是非规格化数需要进行规格化处理。

3.2 浮点数的乘法

1. 两乘数一定是规格化数，若有一个乘数为0，则乘积一定为0。
2. 求乘积的阶码：$E_z=E_x+E_y$, 判断积的阶码是否溢出：上溢、下溢
3. 求乘积的尾数：两乘数的尾数相乘。
4. 规格化乘积的尾数

3.3 浮点数的除法

1. 被除数、除数一定是规格化数，除数不等于0，若被除数为0，则商必为0
2. 求商的阶码：$E_z=E_x-E_y$, 判断商的阶码是否溢出：上溢、下溢
3. 求商的尾数：$M_z=M_x÷M_y$
4. 规格化商的尾数

四、demo

展示C语言中单精度1.0和-1.0的表示

#include 
#include 
/**
 *        float     31   30-23  22-0
 *         符号位  阶码  尾数 
 */
 
/**
 * 大端模式（大端字节序）：低字节内容存在高地址，高字节内容存在低地址。
 * 小端模式（小端字节序）：低字节内容存在低地址，高字节内容存在高地址。
 */
char if_big_endian(){
        short endian = 1;
        if( endian&0x01 == 1 ){
                return 0;
        }else {
                return 1;
        }
}

void print_byte( char*data){
        for( int i=7;i>=0;i--){
                printf("%d",((*data)>>i)&0x01);
        }
}

void print_data( char *data, int byte_len){
        for(int i=0;i<byte_len;i++){
                if( if_big_endian() ){
                        print_byte(data+i) ;
                } else {
                        print_byte(data+ byte_len -1 -i) ;
                }
        }
        printf("\r\n"); 
} 

void set_bit(char * data,int byte_len,int idx){
        int byte_idx = idx/8;
        int bit_idx  = idx%8;
        if( !if_big_endian() ){
                *(data+byte_idx) |= 0x01 << bit_idx;
        } else {
                *(data+ byte_len -1 -byte_idx) |= 0x01 << bit_idx;
        }
}

void reset_bit(char * data,int byte_len,int idx ){
        int byte_idx = idx/8;
        int bit_idx  = idx%8;
        if( !if_big_endian() ){
                *(data+byte_idx) &= ~(0x01 << bit_idx);
        } else {
                *(data+ byte_len -1 -byte_idx) &= ~(0x01 << bit_idx);
        }
}

int main(){
        float  num1 = 1;
        char * p1 = ( char*)&num1;
        printf("float  1: ");
        print_data(p1,4);
        
        float  num2 = -1;
        char * p2 = ( char*)&num2;
        printf("float -1: ");
        print_data(p2,4);
        
        return 0;
} 

• 数符： 0表示正数、1表示负数
• 数字1，阶码的真值为0，移码为0+127 = 127 = 01111111b
• 尾码为0

参考

https://blog.csdn.net/weixin_45863060/article/details/125054244