2021-07-30-01
（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 数论 余红兵 阶及其应用 P050 例1）
设,,证明.
证明
显然是奇数.设是的最小素因子,我们证明,从而.设模的阶是.
由知
.(1)
又因,故费马小定理给出
.(2)
由(1)、(2)及阶的性质推出及,故.不难证明.这是因为,由知,但;另一方面,若有奇素数,则,及,但前者表明,这与是的最小素因子相违.所以,从而,故.
2021-07-30-02
（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 数论 余红兵 阶及其应用 P051 例2）
设,证明.
证明一
反证法,设有一个,使.对的任一个素因子有.设模的阶为,则显然.由推出
.(1)
又由费马小定理得
.(2)
因此及,从而.现在我们特别地取为的最小素因子,则必有.因为否则就有素数,故,及,但前者意味着,这与的选取矛盾,因此,故,矛盾!
证明二
这一解法不必考虑的素因子.设有,使,则为奇数,设是模的阶,则由知.又,故更有,即
.(3)
因阶满足,而显然(否则导出),故.由(3)重复上述论证,可得出无穷多个整数,满足,且,这显然不可能.
这一证明,也可采用下面更为简单的表述:取是最小的使的整数,上面论证产生了一个整数,使得且,这与的选取相违.
2021-07-30-03
（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 数论 余红兵 阶及其应用 P052 例3）
设,,则对任意整数,有.
证明
假设有大于的奇数,满足,则.设是的任一个素约数,是模的阶(注意).又设,,.那么就有
,(1)
从而,故.
关键的一点是证明.假设这结论不对,那么,其中,.则由)推出,结合(1)得,矛盾!故.
现在由,得出,从而,故,即.由于是的任一素因子,将作标准分解,即知,即,但这与前面所设的相违.
2021-07-30-04
（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 数论 余红兵 阶及其应用 P052 例4）
设是一个奇素数.证明:的任一正约数均我们只要证明的任一个素约数满足即可.首先注意
,(1)
故.设是模的阶,因
,(2)
故,所以.于是或.
若,将导出,结合(2)得到,这不可能;若,则因是素数,我们推出或.前者已证明为不可能.若后者成立,即.我们将(1)式模,其左边模当然为,而右边.因此,这不可能,故.因此只能.
最后,因,故由费马小定理得,于是,即,因此.
2021-07-30-05
（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 数论 余红兵 阶及其应用 P053 例5）
(1)设是奇素数,,.设是模的阶,满足.记是模的阶,则有
(2)设是奇数,,,满足.记是模的阶,则有
(3)设是奇数,,,满足.记是模的阶,则有
证明
(1)当时,由推出,故由的定义知.另一方面,由可得,故由的定义推出,从而.
现在设.我们先证明,对每个,有,即有
.(1)
这可用归纳法来证明:当时,由的定义知(1)成立.设(1)对时已成立,则由二项式定理易知
易知(注意,我们这里需要),于是(1)对所有都成立.
利用(1),我们对归纳证明.当时,前面已证明了结论成立.若,设已有.一方面,在(1)中取可知,故.另一方面,由可推出,故,因此或.但在(1)中取,可知,故必须.
(2)当时,结论显然成立.当时,注意,意味着,由此极易用归纳法对证明:
.(2)
由(2)则不难与前问中相同的论证推出,.
(3)由,易证明时的结论.又用归纳法不难得知,对,有
(3)
由此可与第1问中论证相同地得到(对).