Educational Codeforces Round 161 (Rated for Div. 2) E题 动态规划逼近，二进制拆分补充，注意严格递增strictly increasing

Problem - E - Codeforces

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题意：

细节（我踩得没什么价值的坑）：

思路：

对样例3 （X = 13）做解释：

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总思路：

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动态规划逼近：

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二进制拆分补充剩余：

核心代码： 

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E_哔哩哔哩_bilibili

其实有一些细节说的不是特别清楚好理解，可以结合我的题解来看。但是对题目的解析说的还是特别好的 

题意：

你需要制作一个数组，使其严格递增子序列的数目为X

细节（我踩得没什么价值的坑）：

1.严格递增strictly increasing，我直到看了别人的题解才发现，，才能看懂样例，，

2.好好读题，我靠X是1e18了，得long long

3.快速逼近的时候while循环记得写<=

4.空也算一个序列（这个坑我没踩）

思路：

对样例3 （X = 13）做解释：

组合数解释：

2 2 3 4 2
单独一个数一组：
5   2,2,3,4,2
两个数一组：
5   23 23 24 24 34
三个数一组：
2   234,234

总共12，然后加上题目说的空也算一组，一共13组啦

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总思路：

此题我们用动态规划快速逼近答案，然后二进制拆分补充剩余的

（本题解没有去探讨题目中的长度最长为200

不过单调递增就是最快的了）

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动态规划逼近：

然而他给这个数组不太适合弄规律（当然方法不止一种哦） 

我们动态规划的思想来规则地做这道题：

我们用arr[ i ]记录 i 及此前的所有严格递增子序列总数目

比如 1 2 3 4

arr[ 1 ] = 1     （1自己，只有1个）

arr[ 2 ] = 3       为 arr[ 1 ]*2 +1  ，

解释：这里arr[ 1 ]*2理解为两个arr[ 1 ]，

第一个arr[1]是不算2的此前所有的严格递增子序列总数目；

第二个arr[1]代表此前的子序列尾都加个2的序列，这样形成的序列的数目是等于arr[ i-1 ]的；

第三个1就是我们2单独自己啦。

（所以状态转移方程就是 arr[ i ] = arr[ i-1 ]*2 +1 ）

此后同理，所以

arr[ 3 ] = 7        (arr[2]*2+1) 

arr[ 4 ] = 15    （7*2+1）

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二进制拆分补充剩余：

（剩余的数是个数，肯定能用二进制来表示）

先看例子直接理解：

1 2 3 4 2

顺序后面补个2，我们可以发现2只会和前面的2之前的数形成严格递增序列，此时能形成两个：

2 和 1 2

其中：

1 2其实就是我们上面动态规划部分提到的 “ 第二个1代表此前的子序列尾都加个2的序列 ”

2就是单独自己啦

所以补的这个值即是arr[ i ] + 1啦

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（再举个例子，比如1 2 3 4 3，补的是3，补的序列是： 3和 1 3，1 2 3，2 3 共4种）

又因为：

1                         （补1）

arr[ 1 ] + 1 = 2    （补2）    

arr[ 2 ] + 1 = 4    （补3）

arr[ 3 ] + 1 = 8

arr[ 4 ] + 1 = 16

正好是二进制  （注意我们倒着补，后面不再组成递增序列）

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核心代码： 

ll ksm(int a,int b)//a的b次幂
{
	if (b == 1)return (ll)a;
	ll tmp = ksm(a, b / 2);
	if (b % 2) return tmp * tmp * a;
	else return tmp * tmp;
}

void solve()
{
	ll x;
	cin >> x;
	x--;
	ll cursum = 1;
	int curn = 1;
	vectorans;
	ans.push_back(curn++);
	while (cursum <= x)//快速逼近
	{
		cursum = cursum * 2 + 1;
		if(cursum<=x)
		ans.push_back(curn++);
	}
	if (cursum > x)//二进制拆分补充
	{
		curn--;

		cursum = (cursum - 1) / 2;
		cursum = x - cursum;
		//补
		//求个最大值快速幂吧，顺便当复习了
		ll val = ksm(2, curn);
		int curvaln = curn+1;
		while (cursum > 0)
		{
			if (val <= 0)
			{
				cout << "impossible!!!";
				exit(-1);
			}

			if (val <= cursum)
			{
				ans.push_back(curvaln);
				cursum -= val;
			}
			val /= 2;
			curvaln--;
		}
	}
	cout << ans.size() << endl;
	for (auto num : ans)
	{
		cout << num << " ";
	}
	cout << endl;
}