2021-10-23-01
（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 平面几何 范端喜 邓博文 完全四边形、调和点列 P085 例7）
设凸四边形的两组对边分别交于点、,两条对角线的交点为,过作于点.求证:.
证明
如图,延长、分别与交于点、.
若与平行,则视点在无穷远处.
由性质2知、调和分割线段,、调和分割线段.
因为,所以,根据性质5中(3)和(4)(1)和(2),知,.
因此,.
2021-10-23-02
（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 平面几何 范端喜 邓博文 完全四边形、调和点列 P085 例8）
过锐角的顶点、、的三条高分别交对边于点、、,过点平行于的直线分别交、于点、,交于点.证明:的外接圆过的中点.
证明
如图,取边的中点.
由性质2知、、、是调和点列又是的中点,因此.(性质4的第(4)条)
易证、、、四点共圆.
又因,所以.
因此,、、、四点共圆,即.
由相交弦定理的逆定理知的外接圆过的中点.
2021-10-23-03
（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 平面几何 范端喜 邓博文 完全四边形、调和点列 P086 例9）
凸四边形的对角线交于点,两组对边的直线分别交于点、,经过的直线分别交、、于点、、.
正明:.
证明
如图,设与交于点,则、、、成调和点列.
连结.
考虑过的四条线束、、、,它们被两条直线和所截,由于、、、成调和点列,因此,、、、是调和点列,即.
2021-10-23-04
（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 平面几何 范端喜 邓博文 完全四边形、调和点列 P086 例10）
如图,已知、、均在的边上,分别交、、于点、、.求证:
证明
设直线,交于,再设与交于,由调和四边形的性质2知,、、、;、、、均为调和点列.
所以左式右式.
2021-10-23-05
（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 平面几何 范端喜 邓博文 完全四边形、调和点列 P086 例11）
如图,圆和圆与的三边所在的三条直线都相切,、、、为切点,并且、的延长线交于点.求证:直线与垂直.
证明
设直线交于点.
对及截线,对及截线分别应用梅涅劳斯定理,有
.
由切线性质,有,,有,即.
知连结、,由,知.
连结、,则.
连结、,则在与中,有.
于是,,即有,从而直线为的的外角平分线.
设直线与直线交于点(或无穷远点),从而点、调和分割(由于、分别是内、外位似中心,,这里、分别为、的半径),即、、、为调和线束,于是知,故.